Cet article dresse une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes.
Ces identités sont toutes valables à condition que les réels utilisés (, , et ) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.
Valeurs particulières Pour toute base , on a : . .
Logarithme d'un produit, d'un quotient, d'une exponentiation Par définition des logarithmes, on a : . . .
Ces trois identités permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul ; connaissant le logarithme de deux nombres, il est possible de les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci.
Logarithme d'une somme En partant des égalités , et en utilisant les propriétés du logarithme d'un produit, on aboutit aux résultats ci-dessous. Ces formules permettent dans certains cas de calculer numériquement en fonction de et en évitant des dépassements des limites numériques.
Réciprocité
. , .
Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.
Changement de base Relation de type Chasles :
Et en particulier (pour ), .
Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer, car la plupart de ces dernières ne proposent que les logarithmes décimaux (de base 10) et naturels (de base e).
On en déduit : .
Limites
pour pour pour pour
La dernière limite est souvent interprétée comme « en l'infini le logarithme croît plus lentement que toute puissance (strictement positive) de la variable ».
Dérivée
donc dans le cas particulier de la base : .
Primitive
donc dans le cas particulier de la base : .
Références
Catégorie:Analyse réelle Logarithmique Identites logarithmiques