En théorie des groupes, on appelle centre d'un groupe G l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les autres.
Définition Soit G un groupe, noté multiplicativement. Son centre Z est .
Propriétés
Dans G, Z est un sous-groupe normal — comme noyau du morphisme de groupes ci-dessous — et même un sous-groupe caractéristique. Tout sous-groupe de Z est sous-groupe normal de G. Z est abélien.
Exemples Le centre d'un groupe abélien G est le groupe G entier, c'est-à-dire : Z = G. Le centre du groupe alterné A est trivial pour n ≥ 4. Le centre du groupe linéaire GL(R) est le sous-groupe des matrices scalaires non nulles, pour tout anneau commutatif R.
Application L'action par conjugaison de G sur lui-même est le morphisme de G dans le groupe des automorphismes de G
où est l'automorphisme intérieur défini par
Son noyau et son image sont
Le sous-groupe est appelé groupe des automorphismes intérieurs de G. Ce résultat permet de montrer que tout groupe fini dont l'ordre est le carré d'un nombre premier est abélien.
On peut en déduire, d'après les théorèmes d'isomorphisme : Notons également qu'un groupe est abélien, si et seulement si, le quotient par son noyau est cyclique.
Notes et références
Liens externes
Articles connexes Centre (algèbre) Centralisateur
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