Un extensomètre (ou jauge extensométrique) à fils résistants ou jauge résistive de déformation (ou, abusivement, jauge de contrainteLes jauges de déformation sont abusivement appelées jauges de contrainte parce qu'on mesure la déformation pour connaître la contrainte, via la théorie de l'élasticité. La relation de linéarité devient fausse en cas de plastification.) est un instrument de mesure permettant de traduire la déformation d'une pièce en variation de résistance électrique (plus les extensomètres s'étirent, plus leurs résistances augmentent). Elles consistent en des spires rapprochées et sont généralement fabriquées à partir d'une mince feuille métallique (quelques µm d'épaisseur) collée sur un isolant électrique, que l'on traite comme un circuit imprimé (par lithographie et par attaque à l'acide).

Présentation de la relation contrainte-déformation

Les jauges de déformation permettent de mesurer de faibles déformations. De fait, elles ne servent en pratique que dans le domaine élastique.

D'un point de vue macroscopique, on définit la déformation conventionnelle, appelée « extension » et notée e, par

où : l est la longueur initiale de la pièce, ou ici de la jauge ; Δl est la variation de la longueur sous charge, Δl = l – l. Cet allongement relatif est assimilé à la déformation vraie ε (« epsilon un ») ; on a en effet e ≈ ε pour les petites déformations.

Par ailleurs, le diamètre D de la pièce rétrécit, selon la loi :

avec : ε ≈ : déformation transverse ; ν : coefficient de Poisson.

La contrainte, quant à elle, est une force divisée par une surface, elle est donc homogène à une pression et exprimée en pascals (Pa) ou plus fréquemment, en raison des ordres de grandeur, en mégapascals ( = 10 Pa = ). La contrainte est notée σ (« sigma ») :

où : F est la force de traction ou de compression ; S est l'aire de la section droite.

Dans le cas d'une pièce en extension ou en compression, dans le domaine élastique, on a la loi de Hooke :

avec : σ : contrainte normale ; ε : déformation longitudinale ; E : module de Young, caractéristique du matériau pour des conditions de température et de pression données.

Pour les cas plus complexes, on ne peut pas se contenter de décrire la déformation par un scalaire ; on utilise six valeurs regroupées dans le tenseur des déformations (matrice 3×3 symétrique) :

On utilise parfois de manière alternative γ = 2 ε.

De même, pour décrire les forces internes au sein du matériau, il faut utiliser six valeurs regroupées dans le tenseur des contraintes :

les deux étant reliés, dans le domaine élastique, par la loi de Hooke généralisée :

où est le tenseur des coefficients élastiques, contenant 36 coefficients. Dans le cas d'un matériau isotrope linéaire, on peut se contenter de deux coefficients, par exemple E et ν (voir plus loin la section Calcul des contraintes ).

Exploitation des mesures sur rosette thumb|Rosette rectangulaire (à 45°). thumb|Rosette équiangulaire (à 60°).

Trois jauges élémentaires sont souvent associées pour former une "rosette". On a donc, au point considéré, la donnée de trois extensions ε1, ε2 et ε3, et l'on veut en déduire le tenseur des contraintes (symétrique) :

On remarque immédiatement que les trois directions de la rosette sont sur un même plan, donc que l'on ne peut avoir accès qu'aux déformations dans ce plan. Par ailleurs, la jauge étant collée sur une surface libre, les contraintes normales à cette surface sont nulles.

Supposons que la surface libre soit le plan (x, y ), l'axe z étant normal à ce point. On est donc dans un état de contraintes planes dans le plan (x, y ), soit . Les axes des jauges de la rosette sont notés x1, x2 et x3, faisant respectivement un angle θ1, θ2 et θ3 avec l'axe x. La rosette indique trois extensions ε1, ε2 et ε3, que l'on peut relier au tenseur des déformations par :

où : εxx et εyy sont les extensions selon les axes x et y ; γxy est l'angle de glissement (variation de l'angle droit), γxy = 2εxy.

Résolution du système d'équations On utilise des valeurs conventionnelles pour les angles, ce qui simplifie les équations. Les rosettes dites « équiangulaires » ont des angles à 60 ou 120°. Si l'on pose θ1 = -60°, θ2 = 0 (alignée sur l'axe x) et θ3 = +60°, on a :

La première direction principale fait un angle θp avec l'axe des x, donné par :

Les rosettes dites « rectangulaires » ont des angles à 45°. Si l'on pose θ1 = 0 (alignée sur l'axe x), θ2 = 45° et θ3 = +90° (alignée sur l'axe y), on a :

La direction principale est déterminée ici par :

Dans le cas d'une rosette « rectangulaire », l'abscisse du centre du cercle de Mohr vaut

et son rayon vaut

les déformations principales valent donc :

Tracé du cercle de Mohr thumb|Cercle de Mohr pour une rosette à 60°.

Le cercle de Mohr des déformations fournit une solution graphique à ce problème. La rosette nous donne trois valeurs, ε1, ε2 et ε3 qui sont les abscisses de trois points du cercle. Pour tracer le cercle, il faut déterminer la position du centre ; à partir de là, on peut déterminer : l'angle de glissement γxy, qui est l'ordonnée du point situé à l'abscisse εxx = ε1 ou ε2 (selon la jauge qui est alignée avec l'axe des x) ; la première direction principale, grâce à l'angle 2θp que fait le point (εxx, ½γxy) avec l'axe horizontal.

Dans le cas d'une rosette équiangulaire (à 60 ou 120°), on sait que les points sont espacés de 120° sur le cercle, ils forment un triangle équilatéral. Donc, l'abscisse du centre du cercle est la moyenne des trois valeurs : ε0 = (ε1 + ε2 + ε3).

thumb|Cercle de Mohr pour une rosette à 45°.

Dans le cas d'une rosette rectangulaire (à 45°), on sait que les points 1 et 3 sont diamétralement opposés sur le cercle. Donc, l'abscisse du centre du cercle est la moyenne des deux valeurs : ε0 = (ε1 + ε3).

Dans les deux cas, les valeurs des déformations principales εI et εII sont données par l'intersection du cercle avec l'axe horizontal ε.

Calcul des contraintes Le calcul des contraintes fait intervenir la loi de Hooke généralisée.

Dans le cas d'un matériau isotrope, on a :

(on est dans un état de contraintes planes, mais pas de déformations planes). Puis :

avec E : module de Young ; ν : coefficient de Poisson ; G = E/[2(1 + ν)] : module de cisaillement ; qui sont les coefficients d'élasticité du matériau.

Les directions principales des contraintes sont les mêmes que pour les déformations. On a :

puis :

Mesure Piézorésistance La piézorésistance est le changement de conductivité d'un matériau dû à une contrainte mécanique. Elle a été mise en évidence pour la première fois par Lord Kelvin en 1856.

La piézorésistance dans les semi-conducteurs a été découverte sur un cristal de silicium en 1954. Explication

La résistance électrique d'une jauge cylindrique est donnée par :

avec : ρ, résistivité du conducteur ; sa longueur ; A, l'aire de sa section ; D, le diamètre de la section.

Donc après déformation de la jauge, on obtient : .

On peut alors exprimer la variation relative de la résistance par :

avec : k, la sensibilité d'un appareil piézorésistant, dépend principalement du constituant de la jauge ; la variation relative de longueur ; R la résistance.

Piézorésistance des métaux La piézorésistance d'un capteur métallique est due au changement de géométrie dû à la contrainte mécanique. Ce facteur géométrique du capteur se représente par la variable k :

où représente le coefficient de Poisson du matériau.

Même si les variations sont relativement faibles, elles permettent d'utiliser ces capteurs (jauge de contrainte) sur une large gamme d'utilisation.

Piézorésistance dans les semi-conducteurs La variable k d'un semi-conducteur peut-être cent fois supérieure à celle des métaux. Les semi-conducteurs généralement utilisés sont le germanium et le silicium (amorphe ou cristallisé).

Une contrainte appliquée sur du silicium va modifier sa conductivité pour deux raisons : sa variation géométrique mais aussi sur la conductibilité intrinsèque du matériau. Il en résulte une amplitude bien plus importante que pour des capteurs métalliques.

Piézorésistance des capteurs en silicium La piézorésistance des semi-conducteurs a été utilisée avec un grand nombre de matériaux (germanium, silicium polycristalin ou amorphe). Le silicium étant aujourd'hui largement utilisé dans les circuits intégrés, l'utilisation des capteurs à base de silicium est largement répandue et permet une bonne intégration des jauges de contraintes avec les circuits bipolaires ou CMOS.

Cela a permis une grande gamme d'utilisation de la piézorésistance. Beaucoup d'appareils commerciaux comme les capteurs d'accélération utilisent des capteurs en silicium.

Piézorésistance ou piézorésistor Les piézorésistances ou piézorésistors sont des résistances variables faites à partir d'un matériau piézorésistant et sont utilisées pour les jauges de contraintes, couplées avec un pont de Wheatstone.

Application à la mesure La mesure ne peut s'effectuer directement car les variations de conductivité de la jauge sont trop faibles pour être mesurées directement avec un ohmmètre. Il est nécessaire de faire un montage en pont de Wheatstone (voir figure à droite).

200px|right

Soit un circuit constitué de quatre résistances R, R, R, R montées en pont. On alimente par une source électromotrice V suivant la diagonale AC. À l'équilibre la tension de sortie entre B et D est nulle mais la variation d'une quelconque des résistances fait apparaître une tension V.

Pour de très faibles variations (de l'ordre du microohm pour les jauges de contrainte), la sortie V est proportionnelle aux variations relatives ΔR/R de chacune des résistances. En négligeant les termes d'ordres supérieurs, elle vaut :

.

Avec

Dans la pratique, ces résistances sont souvent d'autres jauges (une, deux ou quatre).

L'alternance des signes + et - caractérise la propriété fondamentale des ponts : deux résistances adjacentes agissent en sens opposé et deux résistances opposées agissent dans le même sens. On peut donc compenser les variations parasites (comme la température) et avoir une meilleure précision.

Un capteur à quatre jauges permet d'avoir encore une meilleure précision qu'un capteur à une jauge. Dans la pratique, le nombre de jauges est souvent dicté par la géométrie de la pièce.

On distingue trois montages différents selon le nombre de jauges mis en place.

Montage Montage en quart de pont Dans le montage en quart de pont, on ne dispose que d'une jauge et trois résistances viennent en complément avec l'électronique associée. Ce montage est le plus simple et le moins cher mais présente de nombreux inconvénients : la jauge étant éloignée des autres résistances, il faut prendre en compte la résistance induite par la longueur de câble ; la tension alimentant la jauge diminue de la somme des variations de tension rencontrées sur les câbles de liaison. À l’entrée de la jauge, elle est largement inférieure à celle qui sort de l’amplificateur. La sensibilité du capteur (qui varie proportionnellement à la tension d’alimentation) s’en trouve alors amoindrie ; la résistance du câblage ajoute également une atténuation du signal et donc une perte d'information. Par exemple, un câble de conduit à une variation de 10 %. Des corrections sont indispensables à ce type de montage tel que l'étalonnage « shunt » du système de mesures.

Montage en demi-pont Le montage demi-pont est couramment utilisé lorsque l'on souhaite faire des corrections en température sur matériaux à mesurer. Il est aussi utilisé pour supprimer la composante de traction (ou compression) lors de mesures de flexion.

Montage en pont complet Ce montage est un peu plus coûteux que les deux montages précédents, mais il permet de donner des valeurs plus précises (sensible aux faibles déformations), et évidemment il permet une meilleure correction de température et bien sûr une suppression plus complète des efforts qu'on veut éliminer.