Les paradoxes de Zénon forment un ensemble de paradoxes imaginés par Zénon d'Élée pour soutenir la doctrine de Parménide, selon laquelle toute évidence des sens est trompeuse et le mouvement est impossible.
Plusieurs de ces paradoxes de Zénon ont traversé le temps et été rapportés par Aristote dans la Physique et par Simplicius dans un commentaire à ce sujet.
Contexte Selon Proclus, au , Zénon d'Élée aurait écrit une suite de 40 arguments destinés à défendre son maître et ami Parménide d'Élée. Ce dernier, dans sa doctrine de « l'étant », soutenait que ce qui est en soi est immuable, permanent, un et identique à soi, indivisible et d'un seul tenant, immobile et unique. Zénon aurait donc eu pour ambition de réduire à néant les arguments des adversaires de Parménide en montrant que la notion de pluralité de l'étant (sa capacité à être divisé) conduisaient à des paradoxes. Cela l'amène à attaquer également la notion du mouvement qu'ils proposaient.
De cet ouvrage, il ne reste que des fragments : quatre paradoxes concernant le mouvement et présentés de manière allusive par Aristote dans sa Physique : ceux connus sous les noms de La Dichotomie, l'Achille, La Flèche, Le Stade ; deux paradoxes, concernant la pluralité, précisément cités, près de plus tard, par Simplicius : la pluralité des grandeurs, la pluralité numérique et un autre s'y rapportant : Le Boisseau ; un paradoxe, concernant le mouvement, cité par Diogène Laërce, sur le lieu où se tient le mouvement.
Paradoxes sur la pluralité Pluralité des grandeurs
Pluralité numérique
Pluralité de lieux
Le boisseau
Paradoxes sur le mouvement Paradoxe de la dichotomie
vignette|La dichotomie.
C'est sous cette forme qu'il est mentionné dans La Physique (VI, 9) d'Aristote chap. 1 «Les paradoxes de Zénon d'Élée», p. 16.
L'argument de la dichotomie est analysée sous deux formes, une ascendante et une descendante, p. 27.
Aristote précise ce qu'il pense être le raisonnement de Zénon : on doit toujours traverser la demi-distance. Il y a un nombre infini de demi-distances (de 0 à 1/2 puis de 1/2 à 3/4, puis de 3/4 à 7/8 etc.). Il est impossible de parcourir complètement une infinité de choses.
Mais d'autres analyses sont aussi présentées : le mouvement est impossible car avant d'arriver à son terme, il doit arriver à la moitié et avant d'arriver à la moitié, il doit arriver à la moitié de la moitié, et avant d'arriver à la moitié de la moitié, il doit arriver à la moitié de la moitié de la moitié… Le mouvement n'a donc pas de commencement, p. 168.
Le paradoxe se résout en soutenant que le mouvement est continu ; le fait qu'il soit divisible à l'infini ne le rend pas impossible pour autant. De plus, en analyse moderne, le paradoxe est résolu en utilisant fondamentalement le fait qu'une somme infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini, et spécialement 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯.
Achille
vignette|Achille et la tortueGrandjean, Martin (2014) Henri Bergson et les paradoxes de Zénon : Achille battu par la tortue ?.
Aristote précise que ce paradoxe s'appelle Achille, en référence au héros grec réputé pour sa rapidité. Ce paradoxe est maintenant connu sous le nom d'Achille et la tortue, § 10;11.
« Depuis le , écrivent Philippe Boulanger et Alain Cohen dans Le Trésor des Paradoxes, ce paradoxe du mouvement a stimulé les réflexions des mathématiciens, entre autres Galilée, Cauchy, Cantor, Carroll et Russell ». Pour Bergson, « Les philosophes l'ont réfuté de bien des manières et si différentes que chacune de ces réfutations enlève aux autres le droit de se croire définitives ».
En analyse moderne, le paradoxe est résolu en utilisant le fait qu'une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini Voir notamment dans cet article une formulation moderne et mathématique, accessible, des paradoxes de Zénon, et des solutions mathématiques qui en ont été proposées : . .
Flèche en vol
vignette|La flèche. Il existe plusieurs traductions de ce paradoxe entrainant des analyses différentes. On peut trouver :
Mais cette traduction est parfois contestée au profit de :
On peut l’interpréter ainsi : à chaque instant, la flèche se trouve à une position précise. Si l'instant est nul, alors la flèche n'a pas le temps de se déplacer et reste au repos pendant cet instant. De même, pendant les instants suivants, elle va rester immobile pour la même raison. Si le temps est une succession d'instants et que chaque instant est un moment où le temps est arrêté, le temps n'existe donc pas. La flèche est donc toujours immobile à chaque instant et ne peut pas se déplacer : le mouvement est donc impossible.
Le Stade vignette|Paradoxe de Zénon : le stade Le paradoxe du stade est mentionné par Aristote en ces termes :
Aristote détaille le raisonnement, avec probablement l'aide d'un schéma qui n'a pas été retrouvé, et explique que la rangée B verra défiler dans le même temps la moitié de la rangée A et toute la rangée C.
Avec une vision continue du temps et de la vitesse, l'apparent paradoxe s'explique par le fait que la vitesse relative de B par rapport à A est différente de celle de B par rapport à C. Il reste un paradoxe si on conserve une version discrète du temps et de l'espace — Version française de — p. 4-5..
Autres interprétations Plusieurs philosophes, dont Descartes (lettre à Clerselier, juin ou ; à Mersenne ), Kant, Hume, Hegel, Bergson, ont proposé d'autres solutions à ces paradoxes. Une solution plus simple, d'abord proposée par Leucippe et Démocrite, contemporains de Zénon, est de nier que l'espace soit divisible à l'infini.
Une autre interprétation consiste à se rendre compte que lorsqu'on divise l'espace, on divise aussi proportionnellement le temps de parcours et que, finalement, la vitesse reste inchangée.
Point de vue scientifique moderne La physique moderne considère que les « paradoxes de Zénon » sont résolus s'ils sont posés rigoureusement au sens des mathématiques modernes. Les processus infinis sont restés théoriquement problématiques en mathématiques jusqu’à la fin du . Avec leur notion de limite, Weierstrass et Cauchy ont développé une formulation rigoureuse de la logique et du calcul infinitésimal impliqués dans ces paradoxes. Nombre de scientifiques, d'historiens et de philosophesB Russell (1956) Mathematics and the metaphysicians in "The World of Mathematics" (ed. J R Newman), pp 1576-1590. considèrent ainsi que les paradoxes de Zénon ne sont que des paradoxes apparents résultant de problèmes mal posés et des biais de raisonnement humains.
Notes et références
Bibliographie
Voir aussi Articles connexes Liste de paradoxes Paradoxe Dialectique Régression à l'infini 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ Lampe de Thomson
Liens externes Analyse des paradoxes de Zénon Modernité des paradoxes de Zénon Les séries divergentes
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