Soit un espace mesuré. On dit que la mesure est σ-finie lorsqu'il existe un recouvrement dénombrable de par des sous-ensembles de mesure finie, c'est-à-dire lorsqu'il existe une suite ) d'éléments de la tribu , tous de mesure finie, avec
Exemples Mesure finie Mesure de comptage sur un ensemble dénombrable Mesure de Lebesgue. En effet, l'ensemble des intervalles pour tous les nombres entiers est un recouvrement dénombrable de , et chacun des intervalles est de mesure 1.
Plus généralement, mesure de Haar sur un groupe localement compact σ-compact
Propriétés En remplaçant E par F = E ∪ … ∪ E, on obtient une suite vérifiant les mêmes propriétés et qui de plus est croissante pour l'inclusion, donc . En remplaçant F par G = F\F, on obtient une suite vérifiant les mêmes hypothèses que ) et qui de plus est constituée de parties disjointes deux à deux, donc . Si Y est un élément de Σ, la restriction de à Y est encore σ-finie.
Usages Théorème d'extension de Carathéodory Unicité d'une mesure produit Théorème de Fubini Théorème d'Egoroff Cas extrémal de l'inégalité de Hölder Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue Lien entre mesure complétée et mesure extérieure
Catégorie:Théorie de la mesure