Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions (un solide géométrique) ayant des faces planes polygonales qui se rencontrent selon des segments de droite qu'on appelle arêtes.
Le mot polyèdre, signifiant à plusieurs faces, provient des racines grecques πολύς (polys), « beaucoup » et ἕδρα (hedra), « base », « siège » ou « face »Le français écrit polyèdre, tandis que l'anglais écrit polyhedron. En grec ancien, l'aspiration est écrite dans la racine ἕδρα (hedra), mais ne peut pas être écrite dans le mot composite πολύεδρον (polyedron).. Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones. Les côtés de ces polygones sont appelés arêtes. Les extrémités des arêtes sont des points appelés sommets. droite|vignette|Un polyèdre particulier : le dodécaèdre régulier.
Historique vignette|Les pyramides d'Égypte. Comme beaucoup d'autres concepts, la notion de polyèdre a été formellement introduite par les Grecs. Leur étude occupe une place tout à fait significative dans les Éléments d'Euclide et a, pour ce qui est des mathématiques, constitué l'une des préoccupations importantes de Platon.
Il suffit cependant de contempler les pyramides pour réaliser que cette notion est perçue depuis des temps encore plus anciens.
Après Platon, Euclide et Archimède dans l'Antiquité, l'étude des polyèdres a occupé nombre de bons esprits des temps modernes, et notamment ceux de Kepler, Euler, Poincaré, Hilbert
Les polytopes sont la généralisation à une dimension quelconque des polygones (dimension 2) et des polyèdres (dimension 3).
Définition La définition donnée en introduction peut sembler suffisamment claire pour la plupart d'entre nous. Elle ne l'est pas pour un mathématicienDans une remarque souvent citée mais rarement appliquée, remarqua que :. Voir aussi .. Aussi étrange que cela puisse paraître, dans la mesure où le concept de polyèdre ne fait pas référence à la dimension de l'espace dans lequel il se trouve, il n'existe pas de définition universellement agréée sur ce qui fait que « quelque chose » soit un polyèdre (le cœur du problème vient de ce que la notion intuitive de polyèdre n'est pas exactement la même selon qu'on a dans l'idée une surface ou un volume).
Afin d'obvier à cette difficulté, on introduit la notion de simplexe. On peut la considérer comme équivalente à celle de polyèdre en dimension 3 et elle permet des généralisations aux dimensions supérieures. Un polyèdre de dimension est alors la réunion d'un ensemble fini de simplexes de dimension tel que chacune des -faces () d'un simplexe est un élément de , et tel que pour tout couple de simplexe l'intersection est soit vide soit une -face commune à et .
Ainsi un simplexe représente-t-il une définition généralisable de la notion intuitive de polyèdre. Il est la réunion de ses -faces, et l'intersection de deux -faces quelconques d'un simplexe est soit vide soit une face de dimension . Par exemple, un triangle, qui est un 2-simplexe, est la réunion de segments, et l'intersection de deux segments adjacents est un point qui est un sommet du triangle.
Un polyèdre apparaît ainsi comme construit à partir de différentes sortes d'éléments ou d'entités, présentant un nombre différent de dimensions : 3 dimensions : le corps est limité par les faces et correspond habituellement au volume compris à l'intérieur ; 2 dimensions : une face est limitée par un circuit d'arêtes et est habituellement une région plane appelée un polygone. Les faces mises ensemble forment la surface polyédrique ; 1 dimension : une arête joint un sommet à un autre et une face à une autre et est habituellement une droite d'une certaine sorte. Les arêtes mises ensemble forment le squelette polyédrique ; 0 dimension : un sommet est un point de coin.
Il s'ensuit que l'objet ci-dessous n'est pas un polyèdre au sens de cette définition. En effet, la face supérieure de la boîte n'est pas limitée par un mais par deux circuits d'arêtes : l'un qui la limite extérieurement et l'autre qui la limite intérieurement.vignette|Un solide à faces planes qui n'est pas un polyèdre.
Plus généralement en mathématiques et dans d'autres disciplines, le terme « polyèdre » est utilisé pour faire référence à une variété de constructions reliées, certaines géométriques et d'autres purement algébriques ou abstraites.
Dans , Franco Preparata et définissent les polyèdres par un ensemble fini de polygones planaires tels que chaque arête d’un polygone est partagée par un seul autre polygone, et aucun autre sous-ensemble des polygones ne possède cette propriété. Cette définition implique des contraintes strictes : par exemple, les polyèdres ne doivent pas présenter d’auto-intersections.
Propriétés caractéristiques Nomenclature Les polyèdres sont en général nommés selon leur nombre de faces. La nomenclature est basée sur le grec classique. On a ainsi, par exemple : tétraèdre (4 faces), pentaèdre (5 faces), hexaèdre (6 faces), heptaèdre (7 faces), triacontaèdre (30 faces), et ainsi de suite. Cette méthode de désignation a son équivalent dans la nomenclature des polygones de préfixes grecs utilisés pour nommer les polygones. Il suffit de remplacer -gone par -èdre..
Arêtes Les arêtes ont deux caractéristiques importantes (à moins que le polyèdre ne soit complexe) : une arête joint simplement deux sommets ; une arête joint simplement deux faces. Ces deux caractéristiques sont duales.
Convexité Un polyèdre est dit convexe si tout point de tout segment joignant deux points quelconques du polyèdre appartient au polyèdre. Autrement dit, un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur. Il est possible de donner une définition barycentrique d'un tel polyèdre : c'est l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points non coplanaires.
Si un polyèdre est convexe alors toutes ses faces sont convexes. Mais la réciproque est fausse : nombreux sont les polyèdres non convexes ayant des faces convexes comme l'icosaèdre de Jessen ou le polyèdre de Császár.
Caractéristique d'Euler Soit un polyèdre. Si l'on note : son nombre de faces, son nombre d'arêtes, son nombre de sommets, on appelle caractéristique d'Euler le nombre
Pour un polyèdre convexe, cette caractéristique vaut toujours 2. C'est la relation d'Euler
Dualité vignette|gauche
Pour chaque polyèdre, il existe un polyèdre dual ayant des faces à la place des sommets originaux et vice versa. Dans la plupart des cas, le dual peut être obtenu par le processus de réciprocité sphérique. Le dual d'un polyèdre régulier peut se construire en joignant les centres des faces adjacentes.
Polyèdres simples vignette|Un petit rhombicosidodécaèdre. vignette|Le cube est un polyèdre simple
Un polyèdre est une forme tridimensionnelle qui se compose d'un nombre fini de faces polygonales qui sont des parties de plans ; les faces se rencontrent le long des arêtes qui sont des segments de droite, et les arêtes se rencontrent aux points nommés sommets. Les cubes, les prismes et les pyramides sont des exemples de polyèdres.
Le plus souvent, le polyèdre délimite un volume limité de l'espace à trois dimensions. Quelquefois, ce volume intérieur est considéré être une partie du polyèdre ; d'autres fois, seule la surface est considérée. Les polyèdres traditionnels incluent les cinq polyèdres convexes réguliers que l'on nomme les solides de Platon : le tétraèdre (4 faces), le cube (ou hexaèdre) (6 faces), l'octaèdre (8 faces), le dodécaèdre régulier (12 faces) et l'icosaèdre (20 faces). Les autres polyèdres traditionnels sont les quatre polyèdres non convexes réguliers (les solides de Kepler-Poinsot), les treize solides d'Archimède convexes (cuboctaèdre, icosidodécaèdre, tétraèdre tronqué, cube tronqué, octaèdre tronqué, dodécaèdre tronqué, icosaèdre tronqué, cuboctaèdre tronqué, icosidodécaèdre tronqué, rhombicuboctaèdre, cube adouci, dodécaèdre adouci et rhombicosidodécaèdre) et les 53 polyèdres uniformes restants.
Plus petit polyèdre Un polyèdre possède au moins 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes. Le plus petit polyèdre est le tétraèdre.
Polyèdres symétriques On peut définir diverses classes de polyèdres présentant des symétries particulières : polyèdres isogonaux (sommets uniformes) : si tous les sommets sont les mêmes, au sens où pour deux sommets quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième ; polyèdres isotoxaux (arêtes uniformes) : si toutes les arêtes sont les mêmes, au sens où pour deux arêtes quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième ; polyèdres isoédriques (faces uniformes) : si toutes les faces sont les mêmes, au sens où pour deux faces quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième ; polyèdres quasi réguliers : d'arêtes uniformes mais pas de faces uniformes ou pas de sommets uniformes ; polyèdres semi-réguliers : de sommets uniformes mais pas de faces uniformes, et dont chaque face est un polygone régulier. (C'est une des nombreuses définitions du terme, dépendant de l'auteur, qui chevauchent la catégorie quasi régulière) ; polyèdres réguliers : de sommets uniformes, d'arêtes uniformes et de faces uniformes (l'uniformité des sommets et l'uniformité des arêtes combinées implique que les faces sont régulières) ; polyèdres uniformes : de sommets uniformes et dont chaque face est un polygone régulier, réguliers ou semi-réguliers. On appelle solide uniforme un solide dont toutes les faces sont régulières et tous les sommets identiques. Ainsi sont donc tous les solides réguliers et semi-réguliers précédents. Ils sont en tout 75, auxquels il faut ajouter les deux familles infinies des prismes et des antiprismes.
Bien sûr, il est facile de tordre de tels polyèdres, de telle façon qu'ils ne sont plus symétriques. Mais, lorsqu'un nom de polyèdre est donné, tel que l'icosidodécaèdre, la géométrie la plus symétrique est toujours impliquée, sauf indication contraire.
Les groupes de symétrie polyédriques sont tous des groupes ponctuels et incluent : T - symétrie tétraédrique chirale ; le groupe des rotations du tétraèdre régulier ; ordre 12 ; Td - symétrie tétraédrique complète ; le groupe de symétrie du tétraèdre régulier ; ordre 24 ; Th - symétrie pyritoédrique ; ordre 24. La symétrie d'un pyritoèdre. ; O - symétrie octaédrique chirale ; le groupe des rotations du cube et de l'octaèdre régulier ; ordre 24 ; Oh - symétrie octaédrique complète ; le groupe de symétrie du cube et de l'octaèdre régulier ; ordre 48 ; I - symétrie icosaédrique chirale ; le groupe des rotations de l'icosaèdre et du dodécaèdre régulier ; ordre 60 ; Ih - symétrie icosaédrique complète ; le groupe de symétrie de l'icosaèdre et du dodécaèdre régulier ; ordre 120 ; Cnv - symétrie pyramidale à n plis ; Dnh - symétrie prismatique à n plis ; Dnv - symétrie antiprismatique à n plis.
Les polyèdres à symétrie chirale n'ont pas de symétrie axiale et par conséquent ont deux formes énantiomorphes qui sont les réflexions l'un de l'autre. Les polyèdres adoucis ont cette propriété.
Polyèdres réguliers Un polyèdre régulier possède des faces régulières et des sommets réguliers. Le dual d'un polyèdre régulier est aussi régulier.
Partons d'un sommet et prenons les points situés à une distance donnée sur chacune des arêtes. Relions ces points, nous obtenons le polygone du sommet. Si celui-ci est régulier on dit que le sommet est régulier. Un polyèdre est régulier s'il est constitué de faces toutes identiques et régulières, et que tous ses sommets sont identiques. Ils sont au nombre de neuf, classiquement répartis en deux familles : les cinq solides de Platon, ou polyèdres réguliers convexes : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre régulier et icosaèdre réguliers. Platon considérait ces solides comme l'image de la perfection. Les mathématiques modernes rattachent ces exemples à la notion de groupe.