dereita|miniatura| Curva da función exponencial dereita|miniatura|200x200px| Funcións exponenciais con bases 2 e 1/2 A función exponencial é unha función matemática denotada por ou (onde o argumento escríbese coma un expoñente). A menos que se especifique o contrario, o termo refírese xeralmente á función con valores positivos dunha variábel real, aínda que se pode estender aos números complexos ou xeneralizarse a outros obxectos matemáticos como matrices ou álxebras de Lie. A función exponencial orixinouse da operación de tomar potencias dun número (multiplicación repetida), mais varias definicións modernas permiten estendela rigorosamente a todos os argumentos reais , incluíndo os números irracionais.
As funcións para números reais positivos tamén se coñecen como funcións exponenciais e satisfán a identidade de exponenciación:
para tódolos Isto implica que para os números enteiros positivos temos (con factores), onde , relacionando as funcións exponenciais coa noción elemental de potenciación. A base natural é unha constante matemática ubicua chamada número de Euler. Para distinguilo, chámase función exponencial ou función exponencial natural: é a única función con valor real dunha variábel real cuxa derivada é ela mesma e cuxo valor en é : para todos os , e A relación para e real ou complexa, permite expresar funcións exponenciais xerais en termos da exponencial natural.
De xeito máis xeral, calquera función definida por
tamén se coñece como función exponencial, xa que resolve o problema do valor inicial , é dicir, a súa taxa de cambio en cada punto é proporcional ao valor da función nese punto. Este comportamento modela diversos fenómenos nas ciencias biolóxicas, físicas e sociais, por exemplo, o crecemento sen restricións dunha poboación que se reproduce por si mesmo, a desintegración dun elemento radioactivo, o interese composto que se acumula nun fondo financeiro ou a lei de Moore.
A función exponencial tamén se pode definir como unha serie de potencias, que se aplica facilmente a números reais, números complexos e mesmo matrices. A función exponencial complexa toma todos os valores complexos agás 0 e está estreitamente relacionado coas funcións trigonométricas complexas pola fórmula de Euler: A función exponencial dos números reais é unha bixección de no intervalo . A súa función inversa é o logaritmo natural, denotado , ou
Gráfica A gráfica de ten pendente ascendente e aumenta máis rápido a medida que aumenta. A gráfica atópase sempre por riba do eixo , mais atópase arbitrariamente preto del para un negativo grande; así, o eixo é unha asíntota horizontal. A ecuación significa que a pendente da tanxente á gráfica en cada punto é igual á súa coordenada nese punto.
Definición formal dereita|miniatura| A función exponencial (en azul) e a suma dos primeiros termos da súa serie de potencias (en vermello) A función exponencial pode caracterizarse de diversas formas equivalentes. Normalmente defínese pola seguinte serie de potencias:
Dado que o raio de converxencia desta serie de potencias é infinito, esta definición é aplicábel a todos os números complexos; ver plano complexo.
Resolvendo a ecuación diferencial ordinaria coa condición inicial usando o método de Euler dá outra caracterización común, a fórmula do límite do produto:
Pódese demostrar que toda solución continua e distinta de cero da ecuación funcional para é unha función exponencial no sentido máis xeral, con
Derivadas e ecuacións diferenciais dereita|miniatura|391x391px| A derivada da función exponencial é igual ao valor da función. Desde calquera punto da curva (azul), trázase unha recta tanxente (vermello) e unha vertical (verde) de altura , formando un triángulo rectángulo con base no eixo . Dado que a pendente da recta tanxente vermella (a derivada) en é igual á relación entre a altura do triángulo e a base do triángulo, e a derivada é igual ao valor da función, debe ser igual á relación de con . Polo tanto, a base debe ser sempre 1. A importancia da función exponencial en matemáticas e ciencias deriva principalmente da súa propiedade como función única que é igual á súa derivada e é igual a 1 cando . É dicir,
As funcións da forma para a constante son as únicas funcións que son iguais á súa derivada (polo teorema de Picard-Lindelöf).
Tamén, para calquera función diferenciábel , atopamos, pola regra da cadea:
Fraccións continuas para Unha fracción continua para pódese obter mediante unha identidade de Euler:
A seguinte fracción continua xeneralizada para converxe máis rapidamente:
Plano complexo alt=The exponential function e^z plotted in the complex plane from -2-2i to 2+2i|miniatura| A función exponencial e^z representada no plano complexo de -2-2i a 2+2i Como no caso real, a función exponencial pódese definir no plano complexo de varios xeitos equivalentes.
A definición máis común da función exponencial complexa é paralela á definición da serie de potencias para argumentos reais, onde a variábel real é substituída por outra complexa:
O mesmo pasa coa definición baseada no límite:
Para a definición en serie de potencias, a multiplicación por termos de dúas copias desta serie de potencias no sentido de Cauchy, permitida polo teorema de Mertens, mostra que a propiedade multiplicativa definitoria das funcións exponenciais segue a ser válida para todos os argumentos complexos:
A definición da función exponencial complexa leva á súa vez ás definicións adecuadas que estenden as funcións trigonométricas a argumentos complexos.
En particular, cando ( real), a definición da serie produce a expansión
Nesta expansión, a reordenación dos termos en partes reais e imaxinarias está xustificada pola converxencia absoluta da serie. As partes real e imaxinaria da expresión anterior corresponden de feito ás expansións en serie de e , respectivamente.
Esta correspondencia proporciona un motivo para definir o coseno e o seno para todos os argumentos complexos en termos de e a serie de potencias equivalentes:
para todo
Estas definicións para as funcións exponenciais e trigonométricas conducen trivialmente á fórmula de Euler: :
A función exponencial complexa é periódica con período e cúmprese para todo .
Cando o seu dominio se estende desde a recta real ata o plano complexo, a función exponencial conserva as seguintes propiedades:
para todos os
A extensión do logaritmo natural a argumentos complexos obtemos o logaritmo complexo , que é unha función multivalorada.
Cálculo de onde tanto como son complexos
A exponenciación complexa pódese definir convertendo en coordenadas polares e utilizando a identidade
Cando non é un número enteiro, esta función ten varios valores, porque non é único.
Álxebras de Lie Dado un grupo de Lie e a súa álxebra de Lie asociada , o mapa exponencial é un mapa que satisfai propiedades similares. De feito, dado que é a álxebra de Lie do grupo de Lie de todos os números reais positivos baixo multiplicación, a función exponencial ordinaria para argumentos reais é un caso especial da álxebra de Lie. Do mesmo xeito, dado que o grupo de Lie das matrices invertíbeis ten como álxebra de Lie , o espazo de todas as matrices , a función exponencial para matrices cadradas é un caso especial do Mapa exponencial da álxebra de Lie.
A identidade pode fallar para os elementos da álxebra de Lie e que non conmuten; a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff proporciona os termos de corrección necesarios.
Transcendencia A función non está no anel das funcións racionais : non é o cociente de dous polinomios con coeficientes complexos.
Se son números complexos distintos, entón son linearmente independentes sobre , e polo tanto é transcendental en . Notas
Véxase tamén
Outros artigos Lista de funcións matemáticas. Ligazóns externas
Categoría:Funcións Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas