miniatura|270x270px|Nesta transformación da Mona Lisa, a imaxe deformouse de tal forma que o seu eixe vertical non cambiou (Nota: recortáronse as esquinas na imaxe da dereita). O vector azul, representado pola frecha azul que vai dende o peito até o ombreiro, cambiou de dirección, mentres que o vermello, representado pola frecha vermella, non cambiou. O vector vermello é entón un vector propio da transformación, mentres que o azul non o é. Dado que o vector vermello non cambiou de lonxitude, o seu valor propio é 1. Todos os vectores desta mesma dirección son vectores propios, co mesmo valor propio. Forman un subespazo do espazo propio deste valor propio. En álxebra linear, os vectores propios, autovectores ou eigenvectores dun operador linear son os vectores non nulos que, cando son transformados polo operador, dan lugar a un múltiplo escalar de si mesmos, co que non cambian a súa dirección. Este escalar recibe o nome valor propio, autovalor, valor característico ou eigenvalor. A miúdo, unha transformación queda completamente determinada polos seus vectores propios e valores propios. Un espazo propio, autoespazo, eigenespazo ou subespazo fundamental asociado ao valor propio é o conxunto de vectores propios cun valor propio común.
A palabra alemá eigen, que se traduce en galego como propio, empregouse por primeira vez neste contexto por David Hilbert en 1904 (aínda que Helmholtz a empregara previamente cun significado parecido). Eigen traduciuse tamén como inherente, característico ou o prefixo auto-, onde se aprecia a énfase na importancia dos valores propios para definir a natureza única dunha determinada transformación linear. As denominacións vector e valor característicos tamén se utilizan habitualmente.
Introdución As transformacións lineares do espazo —como a rotación, a reflexión, o alargamento, ou calquera combinación das anteriores; nesta lista poderían incluírse outras transformacións— poden interpretarse mediante o efecto que producen nos vectores. Os vectores poden visualizarse como frechas dunha certa lonxitude apuntando nunha dirección e sentido determinados. Os vectores propios das transformacións lineares son vectores que, ou non son afectados pola transformación ou só resultan multiplicados por un escalar e, polo tanto, non varían a súa dirección.Dado que ningunha transformación linear ten efecto sobre o vector nulo, este non se considera un vector propio. O valor propio dun vector propio é o factor de escala polo que foi multiplicado. Un espazo propio é un espazo formado por todos os vectores propios do mesmo valor propio, ademais do vector nulo, que non é un vector propio. A multiplicidade xeométrica dun valor propio é a dimensión do espazo propio asociado. O espectro dunha transformación en espazos vectoriais finitos é o conxunto de todos os seus valores propios. Por exemplo, un vector propio dunha rotación en tres dimensións é un vector situado no eixe de rotación sobre o cal se realiza a rotación. O valor propio correspondente é 1 e o espazo propio é o eixe de xiro. Como é un espazo dunha dimensión, a súa multiplicidade xeométrica é un. É o único valor propio do espectro (desta rotación) que é un número real.
Definición Formalmente, defínense os vectores propios e valores propios da seguinte maneira: sexa A: V → V un operador linear nun certo -espazo vectorial V e v un vector non nulo en V. Se existe un escalar c tal que
entón dise que v é un vector propio do operador A, e o seu valor propio asociado é c. Cómpre observar que se v é un vector propio co valor propio c entón calquera múltiplo diferente de cero de v é tamén un vector propio co valor propio c. De feito, todos os vectores propios co valor propio asociado c xunto con 0, forman un subespazo de V, o espazo propio para o valor propio c. Ademais un espazo propio Z é un subespazo invariante de A, é dicir dado w un vector en Z, o vector Aw tamén pertence a Z.
Exemplos A medida que a Terra rota, os vectores no eixe de rotación permanecen invariantes. Se se considera a transformación linear que sofre a Terra tras unha hora de rotación, unha frecha que partise do centro da Terra ao polo sur xeográfico sería un vector propio desta transformación, pero unha frecha que partise do centro a un punto do ecuador non sería un vector propio. Dado que a frecha que apunta ao polo non cambia de lonxitude pola rotación, o seu valor propio é 1.
Outro exemplo sería unha lámina de metal que se expandise uniformemente a partir dun punto de tal maneira que as distancias desde calquera punto ao momento fixo se duplicasen. Esta expansión é unha transformación con valor propio 2. Cada vector desde o punto fixo a calquera outro é un vector propio, e o espazo propio é o conxunto de todos eses vectores. miniatura|270x270px|Onda estacionaria nunha corda fixa nos seus cabos ou, máis concretamente, unha función propia da transformación correspondente ao transcurso do tempo. A medida que varía o tempo, a onda estacionaria varía en amplitude, pero o seu período non se modifica. Neste caso o valor propio é dependente do tempo. Con todo, o espazo xeométrico tridimensional non é o único espazo vectorial. Por exemplo, se se considera unha corda suxeita polos seus extremos, como a dun instrumento de corda (mostrada á dereita). A distancia dos átomos da corda vibrante dende as súas posicións cando esta está en repouso poden interpretarse como compoñentes dun vector no espazo con tantas dimensións como átomos teña esa corda.
Se se supón que a corda é un medio continuo e se considera a transformación da corda no transcurso do tempo, os seus vectores propios ou funcións propias son as súas ondas estacionarias— o que, mediante a intervención do aire circundante, se pode interpretar como o resultado de tanguer unha guitarra. As ondas estacionarias corresponden a oscilacións particulares da corda tales que a forma da corda se escala por un factor (o valor propio) co paso do tempo. Cada compoñente do vector asociado coa corda multiplícase por este factor dependente do tempo. As amplitudes (valores propios) das ondas estacionarias decrecen co tempo se se considera a atenuación. Neste caso pódese asociar un tempo de vida ao vector propio, e relacionar o concepto de vector propio co concepto de resonancia.
Casos de interese especial Intuitivamente, para as transformacións lineares do espazo de dúas dimensións ℝ3 , os vectores propios son: rotación: ningún vector propio de valores reais (existen en cambio pares valor propio, vector propios complexos). reflexión: os vectores propios son perpendiculares e paralelos ao eixe de simetría, os valores propios son -1 e 1, respectivamente. escalado uniforme: todos os vectores son vectores propios, e o valor propio é o factor de escala. proxección sobre unha recta: os vectores propios co valor propio 1 son paralelos á liña, vectores propios co valor propio 0 son perpendiculares á dirección da proxección
Ecuación do valor propio ou autovalor Matematicamente, vλ é un vector propio e λ o valor propio correspondente dunha transformación T se verifica a ecuación:
onde T(vλ) é o vector obtido ao aplicar a transformación T a vλ.
Supóñase que T é unha transformación linear (o que significa que para todos os escalares a, b, e os vectores v, w). Considérese unha base nese espazo vectorial. Entón, T e vλ poden representarse en relación a esa base mediante unha matriz AT e un vector columna vλ—un vector vertical unidimensional. A ecuación de valor propio nesta representación matricial represéntase da seguinte forma:
onde a yuxtaposición é un produto de matrices. Dado que nesta circunstancia a transformación T e a súa representación matricial AT son equivalentes, a miúdo podemos empregar só T para a representación matricial e a transformación. Isto é equivalente a un conxunto de n combinacións lineares, onde n é o número de vectores da base. Nesta ecuación, tanto o autovalor λ e as n compoñentes de vλ son descoñecidos.
Con todo, ás veces é pouco natural ou mesmo imposible escribir a ecuación do autovector en forma matricial. Isto ocorre, por exemplo, cando o espazo vectorial é de dimensión infinita, por exemplo no caso da corda mostrada anteriormente. Dependendo da natureza da transformación T e o espazo ao que se aplica, pode ser vantaxoso representar a ecuación de autovalor como un conxunto de ecuacións diferenciais, onde os autovectores reciben a miúdo o nome de autofuncións do operador diferencial que representa T. Por exemplo, a derivación mesma é unha transformación linear, xa que (se f(t) e g(t) son funcións derivables e a e b son constantes)
Considérese a diferenciación con respecto a . As súas autofuncións h(t) obedecen á ecuación do autovalor: , onde λ é o autovalor asociado coa función. Unha función no tempo é constante se , crece proporcionalmente a si mesma se é positiva, e decrece proporcionalmente a si mesma se é negativa. Por exemplo, unha poboación ideal de coellos procrea con máis frecuencia a medida que hai máis coellos, e por tanto satisfai a ecuación para lambda positivo.
A solución á ecuación de valor propio é , a función exponencial; pois esa función é unha función propia do operador diferencial d/dt co valor propio λ. Se λ é negativa, a evolución de g denomínase decaemento exponencial; se é positiva denomínase crecemento exponencial. O valor de λ pode ser calquera número complexo. O espectro de d/dt é entón o plano complexo na súa totalidade. Neste exemplo o espazo vectorial no que actúa d/dt é o espazo das funcións derivables dunha variable. Este espazo ten unha dimensión infinita (pois non é posible expresar cada función diferenciable como combinación linear dun número finito de funcións base). No entanto, o espazo propio asociado a un valor propio determinado λ é unidimensional. É o conxunto de todas as funcións , onde A é unha constante arbitraria, a poboación inicial en t=0.
Teorema espectral
O teorema espectral mostra a importancia dos valores propios e vectores propios para caracterizar unha transformación linear de forma única. Na súa versión máis simple, o teorema espectral establece que, baixo unhas condicións determinadas, unha transformación lineal pode expresarse como a combinación linear dos vectores propios con coeficientes de valor igual aos valores propios polo produto escalar dos vectores propios polo vector ao que se aplica a transformación, o que pode escribirse como:
onde y representan os vectores propios e valores propios de . O caso máis simple no que ten validez o teorema é cando a transformación linear vén dada por unha matriz simétrica real ou unha matriz hermitiana complexa.
Se se define a n-ésima potencia dunha transformación como o resultado de aplicala n veces sucesivas, pódese definir tamén o polinomio das transformacións. Unha versión máis xeral do teorema é que calquera polinomio P de é igual a:
O teorema pode estenderse a outras funcións ou transformacións tales como funcións analíticas, sendo o caso máis xeral as funcións de Borel.
Vectores propios e valores propios de matrices Cálculo de valores propios e vectores propios de matrices Se se quere calcular os valores propios dunha matriz dada e esta é pequena, pódese calcular simbolicamente empregando o polinomio característico. Con todo, a miúdo resulta imposible para matrices extensas, caso no que se debe usar un método numérico.
Cálculo simbólico Cálculo dos valores propios Unha ferramenta importante para atopar valores propios de matrices cadradas é o polinomio característico: dicir que λ é un valor propio de A é equivalente a dicir que o sistema de ecuacións lineares A v = λ v → A v - λ v = 0 (factorizando por v queda (A - λI) v = 0 onde I é a matriz identidade) ten unha solución non nula v (un vector propio), e desta forma é equivalente ao determinante:
A función p(λ) = det(A - λI) é un polinomio de λ pois os determinantes defínense como sumas de produtos.