En análise matemática e teoría da probabilidade, unha σ-álxebra sobre un conxunto X é unha colección non baleira Σ de subconxuntos de X pechados baixo a complementación, a unión numerable e a intersección numerable. O par ordenado chámase espazo medible.
Definición Dado un conxunto non baleiro , e o seu conxunto de partes, dicimos que é unha -álxebra en se se satisfán as seguintes condicións:
O conxunto baleiro e o conxunto total son elementos de . Dado un elemento , o seu conxunto complementario tamén pertence a . (-aditividade) Dado un conxunto numerable , o conxunto unión tamén pertence a .
Dado un conxunto e unha -álxebra en , chamamos espazo medible ao par formado por .
Propiedades das -álxebras Sexa un espazo medible. Pódese demostrar que
(Aditividade finita) Dado un conxunto finito de elementos de , o conxunto unión (finita) tamén é un elemento de . Dado un conxunto numerable de elementos de , o conxunto intersección (numerable) tamén pertence a . Desta propiedade dedúcese que tamén ocorre o mesmo para a intersección finita de elementos de . Dados dous elementos de , o conxunto tamén pertence a .
Exemplos de -álxebras
Chamamos -álxebra trivial á -álxebra formada polo conxunto baleiro e o total: . Trátase da -álxebra máis pequena sobre .
A maior -álxebra posible sobre é o conxunto . Calquera -álxebra sobre satisfai que .
Dadas dúas -álxebras e , a súa intersección é tamén unha -álxebra en .
Dado un subconxunto , a menor -álxebra sobre que contén a é .
Dado , a menor -álxebra sobre que contén a é a intersección de todas as -álxebras que conteñen a . Denominámola -álxebra xerada por .
Dado un conxunto , denominamos -álxebra inducida a . Esta é unha -álxebra sobre o conxunto .
Funcións medibles e -álxebras Dicimos que unha función é medible se a preimaxe dun conxunto medible en é medible en , isto é, se para cada tense que .
A noción de función medible motiva a definición das seguintes -álxebras: σ-álxebra mínima
Por construción, esta é a mínima -álxebra (no sentido da inclusión) sobre tal que a función é medíbel.
σ-álxebra máxima
Trátase da máxima -álxebra (no sentido da inclusión) sobre tal que a función é medíbel.
σ-álxebras de Borel e Lebesgue Un exemplo importante é a álxebra de Borel sobre calquera espazo topolóxico: a σ-álxebra xerada polos conxuntos abertos (ou, equivalentemente, polos conxuntos pechados). Esta σ-álxebra non é, en xeral, o conxunto de partes completo. Para un exemplo non trivial que non é un conxunto de Borel, véxase o conxunto de Vitali ou o Conxuntos non borelianos.
No espazo euclidiano , outra σ-álxebra é importante: a de todos os conxuntos medíbeis de Lebesgue. Esta σ-álxebra contén máis conxuntos que a σ-álxebra de Borel en e é a preferida na teoría de integración, xa que dá un espazo de medida completo.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Función medible Medida (matemáticas)
Ligazóns externas
Sigma Algebra from PlanetMath.
Categoría:Teoría da medida Categoría:Estatística