En matemáticas, e máis particularmente en teoría de números, o primorial, denotado por "#", é unha función de números naturais a números naturais semellante á función factorial, mais en lugar de multiplicar sucesivamente números enteiros positivos, a función só multiplica os números primos .
O nome "primorial", acuñado por Harvey Dubner, fai unha analoxía cos primos semellante á forma en que o nome "factorial" se relaciona cos factores.
Definición con números primos miniatura|300x300px| en función de , representado logarítmicamente. Para o -ésimo número primo , o primorial defínese como o produto dos primeiros primos:
,
onde é o -ésimo número primo. Por exemplo, significa o produto dos 5 primeiros primos:
Os cinco primeiros primoriais son:
2, 6, 30, 210, 2310 .
A secuencia tamén inclúe como produto baleiro . Asintoticamente, os primoriais medran segundo:
onde é a notación O pequeno.
Definición con números naturais miniatura|300x300px| (amarelo) en función de , en comparación con (vermello), ambos os dous representados logarítmicamente. En xeral, para un enteiro positivo , o seu primorial, , é o produto dos primos que non son maiores que ; é dicir,
,
onde é a función de contaxe de números primos , que dá o número de primos ≤ .
Por exemplo, 12# representa o produto deses números primos ≤ 12:
Por tanto coas dúas nomenclaturas temos:
Datos relacionados Os primoriais están relacionados coa primeira función de Chebyshev, escrita ϑ (n) segundo:
Dado que achégase asintóticamente a para valores grandes de , os primoriais crecen segundo:
Para o Primorial, coñécese a seguinte aproximación:G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers.
.
A maiores: . Para , os valores son máis pequenos que , L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions and . pero para maior, os valores da función superan o límite e oscilan infinitamente arredor de máis adiante.
Sexa o -ésimo primo, entón ten exactamente divisores. Por exemplo, ten 2 divisores, ten 4 divisores, ten 8 divisores e xa ten divisores, xa que 97 é o 25º primo. A suma dos valores recíprocos do primorial converxe cara a unha constante
A expansión de Engel deste número dá como resultado a secuencia dos números primos (Ver ) Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Factorial.
Categoría:Teoría de números