En matemáticas, o teorema de Ostrowski é un teorema da teoría de números demostrado en 1916 por Alexander Ostrowski, segundo o cal calquera valor absoluto non trivial no corpo ℚ dos racionais é equivalente ao valor absoluto habitual ou ao dos valores absolutos p-ádicos.
De forma máis precisa e máis xeral , o teorema de Ostrowski afirma que os únicos valores absolutos non ultramétricos nun corpo K son (se os hai) as aplicacións da forma x ↦ |f (x)| , onde f é un mergullo de K no corpo dos complexos, e 0 < c ≤ 1. Daquela os valores absolutos ultramétricos en K son os inducidos por unha valoración real, e para K = ℚ as valoracións reais son as valoracións p-ádicas.
Valor absoluto
Sexa K un corpo. Un valor absoluto en K é unha aplicación | ∙ | de K no conxunto dos números reais positivos, que verifica:
A aplicación é entón unha distancia en K.
Se o valor absoluto cumpre a condición
máis forte que a condición 3, entón o valor absoluto chámase ultramétrico.
Valor absoluto trivial O valor absoluto trivial | ∙ | nun corpo defínese por
Valor absoluto habitual O valor absoluto habitual | ∙ | en ℚ defínese por
Valor absoluto p-ádico
Para un número primo fixo p, calquera racional distinto de cero pode escribirse de forma única na forma
onde , son enteiros, é un enteiro estritamente positivo tal que e son primos entre si, e non divide nin .
O enteiro é a valoración p-ádica de . O valor absoluto p-ádico |∙| en ℚ defínese entón por :.
Este valor absoluto é ultramétrico ultramétrico.
Valores absolutos equivalentes Dous valores absolutos nun corpo K dise que son equivalentes cando as distancias asociadas son topoloxicamente equivalentes. Son logo potencias uns dos outros cun expoñente estritamente positivo.
Teorema de Ostrowski
Completamentos do corpo dos números racionais O teorema de Ostrowski mostra que só hai dous tipos de complementos do corpo ℚ. Se tomamos un valor absoluto equivalente ao valor absoluto habitual, construiremos un corpo isomorfo a ℝ.
Se completamos o corpo ℚ cun valor absoluto p-ádico, obtemos corpos completos moi diferentes ao dos reais: corpos p-ádicos. Isto abre as portas á análise p-ádica. Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Número p-ádico. Ligazóns externas
Categoría:Teoría de números Categoría:Teoremas