En cálculo, a integración por cambio de variábeis, tamén coñecida como integración por substitución, é un método para avaliar integrais e antiderivadas. É a contrapartida da regra da cadea para a diferenciación, e pode considerarse que usa a regra da cadea "ao revés".
Cambio dunha única variábel
Introdución (integrais indefinidas) Consideremos un caso sinxelo que utiliza integrais indefinidas.
Calcular
Facemos Isto significa que ou como forma diferencial, Agora:
onde é unha constante arbitraria de integración.
Este procedemento utilízase con frecuencia, mais non todas as integrais teñen unha forma que permita a súa aplicación. En todo caso, o resultado debe verificarse diferenciando e comparando co integrando orixinal.
Para as integrais definidas, tamén se deben axustar os límites de integración, mais o procedemento é o mesmo na súa maior parte.
Enunciado para integrais definidas Sexa unha función diferenciábel cunha derivada continua, onde é un intervalo. Supoñamos que é unha función continua. Entón:
En notación de Leibniz, a substitución produce:
Isto produce a ecuación .
A fórmula úsase para transformar unha integral noutra integral que sexa máis fácil de calcular.
Exemplos: Antiderivadas (integrais indefinidas) O cambio de variábeis pódese usar para determinar as antiderivadas. Escollemos unha relación entre e determinamos a correspondente relación entre e diferenciando, e realizamos as substitucións. Tentamos que este cambio produza unha integral máis simple de resolver como integral inmediata.
Exemplo 1 Considere a integral:
Facemos a substitución e diferenciando esa ecuación temos e por tanto Polo tanto:
onde é a constante de integración.
Exemplo 2: Antiderivada da tanxente A función tanxente pódese integrar mediante a substitución expresándoa en termos de seno e coseno: .
Usando a substitución dá e
Exemplos: Integrais definidas Ao avaliar integrais definidas por cambio de variábel, pódese calcular a antiderivada completamente primeiro e despois aplicar as condicións de contorno.
Exemplo 1 Considere a integral:
Facemos a substitución e derivando obtemos e de aí temos Polo tanto:
Onde o límite inferior foi substituído en dando e o límite superior danto .
Exemplo 2: Substitución trigonométrica Para a integral podemos facer o seguinte. Aplicamos a substitución , e derivando temos , un cambio útil porque Temos así:
A integral resultante pódese calcular mediante a integración por partes ou unha fórmula de dobre ángulo, seguido dunha substitución máis.
Substitución por varias variábeis Tamén se pode usar a substitución ao integrar funcións de varias variábeis.
Aquí, a función de substitución debe ser inxectiva e continuamente derivábel, e as diferenciais transfórmanse como:
onde denota o determinante da matriz jacobiana de derivadas parciais de no punto . Esta fórmula expresa o feito de que o valor absoluto do determinante dunha matriz é igual ao volume do paralelotopo expandido polas súas columnas ou filas.
Máis precisamente, a fórmula do cambio de variábeis está indicada no seguinte teorema:
Aplicación en probabilidade O cambio de variábeis pódese usar para responder á seguinte pregunta importante en probabilidade: dada unha variábel aleatoria con densidade de probabilidade e outra variábel aleatoria tal que para unha inxectiva (un a un), cal é a densidade de probabilidade de ?
É máis doado responder a esta pregunta respondendo primeiro a unha pregunta lixeiramente diferente: cal é a probabilidade de que tome un valor nalgún subconxunto en particular? Denotamos esta probabilidade Por suposto, se ten densidade de probabilidade , entón a resposta é:
mais isto non é realmente útil porque non coñecemos que é o que estamos tentando atopar. Podemos avanzar considerando o problema na variábele . Temos que toma un valor en sempre que toma un valor en logo:
O cambio de variábel de a dá:
Ao combinar isto coa nosa primeira ecuación temos: así:
No caso en que e dependen de varias variábeis non correlacionadas (isto é, e ), pódese atopar por substitución en varias variábeis comentado anteriormente. O resultado é:
Categoría:Cálculo integral Categoría:Wikipedia:Páxinas que usan barra lateral co parámetro child Notas
Véxase tamén
Bibliografía
. .
.
.
Outros artigos Cambio de variábel Substitución trigonométrica Substitución de Weierstrass Substitución de Euler
Ligazóns externas Integration by substitution en Encyclopedia of Mathematics Area formula en Encyclopedia of Mathematics
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas