En cálculo, a regra da cadea é unha fórmula que expresa a derivada da composición de dúas funcións diferenciábeis e en termos das derivadas de e de . Máis precisamente, se é a función tal que para cada , entón a regra da cadea é, na notación de Lagrange,
ou equivalentemente,
A regra da cadea tamén se pode expresar na notación de Leibniz. Se unha variábel depende da variábel , que a si mesmo depende da variábel (é dicir, e son variábeis dependentes), entón depende tamén de , a través da variábel intermedia . Neste caso, a regra da cadea exprésase como e
para indicar en que puntos se teñen que avaliar as derivadas.
Na integración, a contrapartida da regra da cadea é o cambio de variábel.
Enunciado A forma máis sinxela da regra da cadea é para funcións con valores reais dunha variábel real. Afirma que se é unha función que é derivábel nun punto (isto é, a derivada existe) e é unha función que é derivábel en , entón a función composta é diferenciábel en , e a derivada é
A regra ás veces abreviase como
Continuando o mesmo razoamento, dadas funcións coa función composta , se cada función é diferenciábel na súa entrada inmediata, entón a función composta tamén é diferenciábel pola aplicación repetida da regra da cadea, onde a derivada é (en notación de Leibniz):
Aplicacións
Composición de máis de dúas funcións A regra da cadea pódese aplicar a compostos de máis de dúas funcións. Podemos velo cun exemplo:
Consideremos a función
Isto pódese descompoñer como a composición de tres funcións: Así que .
As súas derivadas son:
A regra da cadea estabelece que a derivada da súa composición no punto é:
En notación de Leibniz, isto é:
ou para abreviar,
Polo tanto, a función derivada é:
Outra forma de calcular esta derivada é ver a función composta como a composición de e h. Aplicando a regra da cadea deste xeito obterase:
Isto é o mesmo que o calculado anteriormente. Isto debería esperarse porque .
Regra do cociente A regra da cadea pódese usar para derivar algunhas regras de diferenciación coñecidas. Por exemplo, a regra do cociente é unha consecuencia da regra da cadea e da regra do produto. Para ver isto, escribimos a función como o produto . Primeiro aplicamos a regra do produto:
Para calcular a derivada de , observamos que é a composición de coa función recíproca, é dicir, a función que envía a . A derivada da función recíproca é . Ao aplicar a regra da cadea, a última expresión pasa a ser:
que é a fórmula habitual da regra do cociente.
Derivadas de funcións inversas Supoñamos que ten unha función inversa. Chamamos á súa función inversa para que teñamos . Hai unha fórmula para a derivada de en termos da derivada de . Para ver isto, temos en conta que e satisfán a fórmula
E como as funcións e son iguais, as súas derivadas deben ser iguais. A derivada de é a función constante con valor 1, e a derivada de está determinada pola regra da cadea. Polo tanto, temos que:
Para expresar como función dunha variábel independente , substituímos por onde queira que apareza. Entón podemos resolver para .
Por exemplo, consideremos a función . Ten unha inversa . Dado que para a función exponencial a derivada é igual á función temos que , e por tanto a fórmula anterior ficaría como
Esta fórmula é certa sempre que é diferenciábel e a súa inversa tamén é diferenciábel.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Derivada. Ligazóns externas
Categoría:Cálculo Categoría:Wikipedia:Páxinas que usan barra lateral co parámetro child Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas