Na álxebra abstracta, os sedenións forman unha álxebra non conmutativa e non asociativa de 16 dimensións sobre os números reais, normalmente representados pola letra S maiúscula, ou .
Os sedenións obtéñense aplicando a construción de Cayley-Dickson aos octonións, que se poden expresar matematicamente como . Polo tanto, os octonións son isomorfos a unha subálxebra dos sedenións. A diferenza dos octonions, os sedenions non son unha álxebra alternativa.
Aritmética miniatura| Unha visualización dunha extensión 4D do octonión cúbico que mostra as 35 tríadas como hiperplanos a través do vértice real do exemplo de sedenión dado Cada sedenión é unha combinación linear dos sedenións unitarios , , , ,... , , que forman unha base do espazo vectorial dos sedenións. Cada sedenión pódese representar na forma
A suma e a resta defínense pola suma e resta dos coeficientes correspondentes e a multiplicación é distributiva sobre a suma.
Multiplicación Do mesmo xeito que os octonións, a multiplicación de sedenións non é nin conmutativa nin asociativa. No entanto, a diferenza dos octonións, os sedenións nin sequera teñen a propiedade de ser alternativos. No entanto, teñen a propiedade da asociatividade da potencia, que se pode definir así, para calquera elemento de , a potencia está ben definida. Tamén son unha álxebra flexíbel.
Os sedenións teñen un elemento de identidade multiplicativo e inversos multiplicativos, mais non son unha álxebra de división porque teñen divisores de cero: pódense multiplicar dous sedenións distintos de cero para obter cero, por exemplo . Todos os sistemas numéricos hipercomplexos despois dos sedenións que se basean na construción de Cayley-Dickson tamén conteñen divisores de cero.
A táboa de multiplicación dos sedenións móstrase a continuación:
Propiedades dos sedenións Na táboa anterior podemos ver que:
e
Antiasociativa Os sedenións non son totalmente antiasociativos. Escollemos catro xeradores calquera, e . O seguinte ciclo de 5 mostra que estas cinco relacións non poden ser todas antiasociativas.
En particular, na táboa anterior, usando e a última expresión asocia.
Aplicacións mostrou que o espazo de pares de sedenións norma un que se multiplican dando cero é homeomorfo á forma compacta do Grupo de Lie excepcional G2. (Teña en conta que no seu artigo, un "divisor de cero" significa un "par" de elementos que se multiplican dando cero.)
demostraron que as tres xeracións de leptóns e quarks que están asociados coa simetría de gauge ininterrompida pódese representar usando a álxebra dos sedenións complexos .
Notas
Véxase tamén
Bibliografía Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions, Applied Mathematics and Computation 28:47-72 (1988) Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Further results, Applied Mathematics and Computation, 84:27-47 (1997) K. Imaeda et M. Imaeda, Sedenions: algebra and analysis, Applied Mathematics and Computation, 115:77-88 (2000)
Outros artigos Identidade dos dezaseis cadrados de Pfister Número complexo hiperbólico PG(3,2) Ligazóns externas Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Part III(2006) .
Categoría:Números Categoría:Álxebra abstracta