En lóxica e matemáticas, a implicación recíproca ou inversa dun enunciado categórico ou implicacional é o resultado de inverter os seus dous enunciados constituíntes. Para a implicación P → Q, a recíproca é Q → P. Para a proposición categórica Todos os S son P, a recíproca é Todos os P son S. De calquera xeito, a verdade do recíproco é xeralmente independente da afirmación orixinal.
Implicación recíproca Sexa S un enunciado da forma P implica Q (P → Q). Entón a recíproca de S é a afirmación Q implica P (Q → P). En xeral, a verdade de S non di nada sobre a verdade da súa recíproca, a non ser que o antecedente P e o consecuente Q sexan loxicamente equivalentes.
Por exemplo, considere a afirmación verdadeira "Se son humano, entón son mortal". A inversa desa afirmación é "Se son mortal, entón son un humano", o que non é necesariamente certo (mortal tamén pode ser unha cobra ou un paporrubio).
No entanto, a recíproca dun enunciado con termos mutuamente inclusivos segue sendo certa, dada a verdade da proposición orixinal. Isto equivale a dicir que a recíproca dunha definición é verdade. Así, a afirmación "Se son un triángulo, entón son un polígono de tres lados" é loxicamente equivalente a "Se son un polígono de tres lados, entón son un triángulo", porque a definición de "triángulo" é " polígono de tres lados".
Unha táboa de verdade deixa claro que S e a recíproca de S non son loxicamente equivalentes, a non ser que ambos os termos se impliquen entre si:
Pasar dunha afirmación á súa recíproca é a falacia de afirmar o consecuente. Porén, se o enunciado S e o seu recíproco son equivalentes (é dicir, P é verdadeiro se e só se Q tamén é verdade), entón será válido afirmar a conclusión (lóxica).
A implicación recíproca é loxicamente equivalente á disxunción de e 50x50px50x50px50x50px
Recíproca dun teorema A recíproca dun teorema pode ser verdadeira ou non, e aínda que sexa verdade, a proba pode ser difícil. Por exemplo, o teorema dos catro vértices demostrouse en 1912, mais a súa recíproca só se demostrou en 1997.
A inversa de "Dado P, se Q entón R " será "Dado P, se R entón Q" . Por exemplo, o teorema de Pitágoras pódese enunciar como:Dado un triángulo con lados de lonxitude , , e , se o ángulo oposto ao lado da lonxitude é un ángulo recto, entón .A recíproca, que tamén aparece nos Elementos de Euclides (Libro I, Proposición 48), pódese afirmar como:Dado un triángulo con lados de lonxitude , , e , se , entón o ángulo oposto ao lado da lonxitude é un ángulo recto.
Recíproca dunha relación miniatura| Recíproca dunha relación matemática sinxela Se é unha relación binaria con entón a relación inversa tamén se chama transposta.
Notación A recíproca da implicación P → Q pódese escribir Q → P, , e tamén se pode denotar .
Notas
Véxase tamén
Bibliografía Aristotle. Organon. Copi, Irving. Introduction to Logic. MacMillan, 1953. Copi, Irving. Symbolic Logic. MacMillan, 1979, fifth edition. Stebbing, Susan. A Modern Introduction to Logic. Cromwell Company, 1931. Outros artigos Conectiva lóxica. Táboa de verdade. Teoría da orde. Ligazóns externas forall x: Calgary An Introduction to Formal Logic.
Categoría:Lóxica matemática