miniatura| Un diagrama das dimensións 1, 2, 3 e 4 En matemáticas, a dimensión dun espazo vectorial V é a cardinalidade (é dicir, o número de vectores) dunha base de V sobre o seu corpo base. p. 44, §2.36 Ás veces chámase dimensión de Hamel ou dimensión alxébrica para distinguilo doutros tipos de dimensión.
Para todo espazo vectorial existe unha base, e todas as bases dun espazo vectorial teñen a mesma cardinalidade; como resultado, a dimensión dun espazo vectorial defínese de forma única. dicimos é de se a dimensión de é finita e de se a súa dimensión é infinita.
A dimensión do espazo vectorial sobre o corpo pódese escribir como ou como lendo "dimensión de sobre ". Cando pódese inferir do contexto adoita escribirse .
Exemplos O espazo vectorial ten como base estándar , e polo tanto De forma máis xeral, e aínda máis en xeral, para calquera corpo
Os números complexos son un espazo vectorial real e complexo; temos e Podemos ver os complexos como un vector de dous números reais. Polo tanto, a dimensión depende do corpo base.
Propiedades Se é un subespazo linear de entón
O espazo ten a base estándar onde é a -ésima columna da matriz de identidade correspondente . Polo tanto, ten dimensión
Calquera espazos vectoriais de dúas dimensións finitas sobre coa mesma dimensión son isomorfos. Calquera mapa bixectivo entre as súas bases pódese estender de forma única a un mapa linear bixectivo entre os espazos vectoriais. Se é algún conxunto, un espazo vectorial con dimensión sobre pódese construír do seguinte xeito: tomamos o conxunto de todas as funcións tal que para todos menos finitamente moitos en Estas funcións pódense sumar e multiplicar con elementos de para obter o desexado espazo vectorial l.
Un resultado importante sobre as dimensións vén dado polo teorema de rango-nulidade para mapas lineares.
Se é unha extensión de corpo, entón é en particular un espazo vectorial sobre Ademais, todo -espazo vectorial tamén é un -espazo vectorial. As dimensións están relacionadas coa fórmula En particular, todo espazo vectorial complexo de dimensión é un espazo vectorial real de dimensión
Algunhas fórmulas relacionan a dimensión dun espazo vectorial coa cardinalidade do corpo base e a cardinalidade do propio espazo. Se é un espazo vectorial sobre un corpo e se a dimensión de denotase por entón:
Se dim é finito entón Se dim é infinito entón Notas
Véxase tamén
Bibliografía . Outros artigos Dimensión de Krull. Matriz (matemáticas). Ligazóns externas Conferencia de álxebra linear do MIT sobre a independencia, a base e a dimensión de Gilbert Strang no MIT OpenCourseWare
Categoría:Álxebra lineal