En matemáticas, a fórmula de Leibniz para (tamén serie de Leibniz), que recibe o nome de Gottfried Wilhelm Leibniz, da o valor de pi cuartos como serie alternada
Ás veces chámase a serie Madhava-Leibniz xa que foi descuberta por primeira vez polo matemático indio Madhava de Sangamagrama ou os seus seguidores entre os séculos XIV e XV, e posteriormente foi redescuberta independentemente por James Gregory en 1671 e Leibniz en 1673. A serie de Taylor para a función da tanxente inversa, a miúdo chamada serie de Gregory, é
A fórmula de Leibniz é o caso especial
Tamén é a serie de Dirichlet do carácter de Dirichlet non principal módulo 4 avaliado en e polo tanto o valor da función beta de Dirichlet.
Probas Proba 1 Consideramos a seguinte descomposición:
Para |x| < 1, a fracción da dereita é a suma dos termos restantes da serie xeométrica.
Agora aplicaremos esa descomposición á integral do arcotanxente.
Considerando só a integral do último termo, temos:
Polo tanto, cando , ficamos coa serie de Leibniz:
Proba 2 Sexa , cando , a serie converxe uniformemente, entón
Polo tanto, se aproxima de tal xeito que é continua e converxe uniformemente, a demostración é completa, onde, a serie converxe polo test de Leibniz.
Converxencia A fórmula de Leibniz converxe moi lentamente: presenta converxencia sublinear. Calcular a 10 decimais correctos mediante a suma directa da serie require precisamente cinco mil millóns de termos porque para .
Para obter 4 cifras decimais correctas (erro de 0.00005) necesítanse 5000 termos.
No entanto, a fórmula de Leibniz pódese usar para calcular con alta precisión (centos de díxitos ou máis) utilizando varias técnicas aceleración da converxencia. Por exemplo, pódense aplicar efizcamente a transformación de Shanks, a transformación de Euler ou a transformación de Van Wijngaarden, que son métodos xerais para series alternadas. A maiores, a combinación de termos por parellas dá a serie non alternada
Produto de Euler A fórmula de Leibniz pódese interpretar como unha serie de Dirichlet usando o único carácter de Dirichlet non principal módulo 4. Como con outras series de Dirichlet, isto permite converter a suma infinita nun produto infinito cun termo para cada número primo. Este produto chámase produto de Euler:
Neste produto, cada termo é unha razón superparticular, cada numerador é un número primo impar e cada denominador é o múltiplo de 4 máis próximo ao numerador. O produto é condicionalmente converxente; os seus termos deben tomarse por orde crecente de .
Notas
Véxase tamén Outros artigos Número pi Ligazóns externas
Categoría:Serie matemática Categoría:Teoría de números