miniatura|300x300px| Unha secuencia de funcións converxe uniformemente a cando para pequenos arbitrarios hai un índice tal que a gráfica de está no -intervalo arredor de f sempre que miniatura|300x300px| O límite dunha secuencia de funcións continuas non ten por que ser continuo: a secuencia de funcións (marcado en verde e azul) converxe punto a punto sobre todo o dominio, pero a función límite é descontinua (marcada en vermello).

No campo matemático da análise, a converxencia uniforme é un modo máis forte de converxencia das funcións que a converxencia punto a punto. Unha secuencia de funcións converxe uniformemente a unha función límite nun conxunto como dominio da función se dado calquera número positivo arbitrariamente pequeno , pode atoparse un número tal que cada unha das funcións difire de por non máis de en todo punto de .

Definición Primeiro definimos a converxencia uniforme para funcións con valores reais, aínda que o concepto se xeneraliza facilmente a funcións que mapean espazos métricos e, de xeito máis xeral, espazos uniformes (ver máis abaixo).

Supoñamos que é un conxunto e é unha secuencia de funcións con valores reais. Dicimos que a secuencia é uniformemente converxente en con límite se para todo existe un número natural tal que para todos os e para todos os

A notación para a converxencia uniforme de a non está moi estandarizado, por exemplo:

Con frecuencia, non se usa ningún símbolo especial e os autores simplemente escriben

Dado que é un espazo métrico completo, o criterio de Cauchy pódese usar para dar unha formulación alternativa equivalente para a converxencia uniforme: converxe uniformemente en (no sentido anterior) se e só se para todo , existe un número natural tal que

.

A secuencia dise que é localmente uniformemente converxente co límite se é un espazo métrico e para todo , existe un tal que converxe uniformemente en

Está claro que a converxencia uniforme implica a converxencia uniforme local, que implica a converxencia punto a punto.

Notas Intuitivamente, unha secuencia de funcións converxe uniformemente a se, dado un arbitrariamente pequeno , podemos atopar un para o que as funcións con caian todas dentro dun "tubo" de ancho centrado arredor de (é dicir, entre e ) para todo o dominio da función.

Xeneralizacións Pódese estender directamente o concepto ás funcións E → M, onde (M, d) é un espazo métrico, substituíndo con .

A situación máis xeral é a converxencia uniforme das redes de funcións E → X, onde X é un espazo uniforme.

Exemplos Para , un exemplo básico de converxencia uniforme pódese ilustrar do seguinte xeito: a secuencia converxe uniformemente, mentres non. En concreto, asumimos . Toda función é menor ou igual a cando , independentemente do valor de . Por outra banda, é só menor ou igual a en valores cada vez máis elevados de cando os valores de son seleccionados cada vez máis preto de 1 (explicado máis en profundidade máis abaixo).

A secuencia de funcións

é un exemplo clásico dunha secuencia de funcións que converxe nunha función punto a punto pero non uniformemente. Para mostrar isto, primeiro observamos que o límite punto a punto de cando é a función , dada por

Converxencia punto a punto: A converxencia é trivial para e , xa que e , para todos os . Para e dado , podemos asegurarnos de que sempre que escollendo que é o mínimo expoñente enteiro de que lle permite chegar ou baixar por debaixo de (aquí os corchetes superiores indican o redondeo cara arriba, consulte función teito). Polo tanto, punto a punto para todos os . Teña en conta que a elección de depende do valor de e . Alén diso, para unha escolla fixa de , (que non se pode definir menor) medra sen límite a medida que se achega a 1. Estas observacións exclúen a posibilidade dunha converxencia uniforme.

Converxencia non uniforme: a converxencia é non uniforme, porque podemos atopar un para o que por grande que escollamos haberá valores de e tal que Para ver isto, primeiro observamos que independentemente do tamaño de , sempre hai un tal que Así, se escollemos nunca podemos atopar un tal que para todos os e . Explicitamente, sexa cal sexa o candidato que escollamos , consideramos o valor de en . Posto que

o candidato falla porque atopamos un exemplo dun que "escapou" ao noso intento de "confinar" cada dentro dunha distancia de para todos os . De feito, é fácil ver que

contrariamente ao requisito de que se .

Neste exemplo pódese ver facilmente que a converxencia punto a punto non preserva a diferenciabilidade nin a continuidade. Mentres que cada función da secuencia é suave. Iso é como dicir que para todo n, , o límite non é continuo.

Función exponencial Pódese demostrar que a expansión en serie da función exponencial é uniformemente converxente en calquera subconxunto limitado utilizando o test M de Weierstrass.

Teorema (test M de Weierstrass). Sexa unha secuencia de funcións e sexa unha secuencia de números reais positivos tal que para tódolos e Se converxe, entón converxe absoluta e uniformemente en .

A función exponencial complexa pódese expresar como a serie:

Calquera subconxunto limitado é un subconxunto dalgún disco de raio centrado na orixe no plano complexo. O test M de Weierstrass esixe que atopemos un límite superior nos termos da serie, con independentemente da posición no disco:

Para iso, decatámonos de que

e tomamos

Se é converxente, entón o test M afirma que a serie orixinal é uniformemente converxente.

Agora podemos usar o test da razón para a sucesión de cantidades :

o que significa que a serie dos é converxente. Así, a serie orixinal converxe uniformemente para todos os e posto que , a serie tamén é uniformemente converxente en

Propiedades

Toda sucesión uniformemente converxente é localmente uniformemente converxente. Toda secuencia localmente uniformemente converxente é compacta converxente. Para espazos localmente compactos coinciden a converxencia uniforme local e a converxencia compacta. Unha secuencia de funcións continuas en espazos métricos, sendo o espazo métrico da imaxe completo, é uniformemente converxente se e só se é unha sucesión uniforme de Cauchy. Se é un intervalo compacto (ou en xeral un espazo topolóxico compacto), e é unha secuencia monótona crecente (significando que para todas as n e x) de funcións continuas cun límite punto a punto que tamén é continua, entón a converxencia é necesariamente uniforme (teorema de Dini). Tamén se garante a converxencia uniforme se é un intervalo compacto e é unha sucesión equicontinua que converxe punto a punto.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, Londres, 1954, reimpreso por Dover Publications, . G. H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156 (1918) Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Capítulos 5-10 (paperback); Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976. Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, . William Wade, An Introduction to Analysis, 3rd ed., Pearson, 2005

Outros artigos Converxencia (matemáticas) Límite dunha función Test de converxencia

Ligazóns externas

Exemplos gráficos de converxencia uniforme de series de Fourier da University of Colorado

Categoría:Serie matemática Categoría:Cálculo Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas