dereita|miniatura|240x240px| Tres vectores que definen un paralelepípedo
O produto triplo escalar (tamén chamado produto mixto) defínese como o produto escalar dun dos vectores co produto vectorial dos outros dous.
Interpretación xeométrica Xeométricamente, o produto triplo escalar
é o volume (con signo) do paralelepípedo definido polos tres vectores indicados.
Propiedades
O produto triplo escalar non muda baixo un desprazamento circular dos seus tres operandos (a, b, c):
Trocar as posicións dos operadores sen reordenar os operandos deixa o produto triplo sen cambios:
O troco de dous dos tres operandos nega o produto triplo:
O produto triplo escalar tamén se pode entender como o determinante da matriz 3 x 3 que ten os tres vectores como filas ou columnas (unha matriz ten o mesmo determinante que a súa transposta):
Se o produto triplo escalar é igual a cero, entón os tres vectores a, b e c son coplanares, xa que o paralelepípedo definido por eles sería plano e non terá volume. Se dous vectores calquera do produto triplo escalar son iguais, entón o seu valor é cero:
Tamén
A razón entre o produto triplo e o produto das tres normas vectoriais coñécese como seno polar:que oscila entre −1 e 1.
Como produto exterior dereita|miniatura| Os tres vectores que atravesan un paralelepípedo teñen un produto triplo igual ao seu volume. (No entanto, teña en conta que a dirección das frechas deste diagrama é incorrecta). Na álxebra exterior e álxebra xeométrica o produto exterior de dous vectores é un bivector, mentres que o produto exterior de tres vectores é un trivector. Un bivector é un elemento plano orientado e un trivector é un elemento de volume orientado, do mesmo xeito que un vector é un elemento de recta orientada.
Dados os vectores a, b e c, o produto
é un trivector cunha magnitude igual ao produto triplo escalar, é dicir
,
e é o dual de Hodge do produto triplo escalar. Como o produto exterior é asociativo non son necesarios corchetes xa que non importa cal de ou se calcula primeiro, aínda que a orde dos vectores no produto si importa. Xeométricamente o trivector a ∧ b ∧ c corresponde ao paralelepípedo abranguido por a, b e c, cos bivectores , e coincidentes coas caras do paralelogramo do paralelepípedo.
Produto triplo vectorial O produto triplo vectorial defínese como o produto cruzado dun vector co produto cruzado dos outros dous. Manténse a seguinte relación:
.
Isto coñécese como expansión do produto triplo, ou fórmula de Lagrange, aínda que este último nome tamén se usa para outras fórmulas.
Dado que o produto vectorial é anticomutativo, esta fórmula tamén se pode escribir (ata a permutación das letras) como:
Da fórmula de Lagrange despréndese que o produto do triplo vectorial satisfai:
que é a identidade de Jacobi para o produto vectorial. Outra fórmula útil é a seguinte:
Estas fórmulas son moi útiles para simplificar os cálculos vectoriais en física. Unha identidade relacionada con gradientes e útil no cálculo vectorial é a fórmula de Lagrange da identidade do produto vectorial :
Isto tamén pode considerarse como un caso especial do máis xeral operador de Laplace-de Rham .
Notas
Véxase tamén
Outros artigos
Vector Paralelepípedo
Categoría:Álxebra lineal Categoría:Xeometría Categoría:Física Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas