En álxebra, un dominio é un anel distinto de cero no que implica ou . (Ás veces dise que un anel deste tipo "ten a propiedade do produto cero"). De forma equivalente, un dominio é un anel no que 0 é o único divisor de cero pola esquerda (ou equivalentemente, o único divisor de cero pola dereita). Un dominio conmutativo chámase dominio de integridade. A literatura matemática contén múltiples variantes da definición de "dominio".

Exemplos e non exemplos

O anel non é un dominio, porque as imaxes de 2 e 3 neste anel son elementos distintos de cero co produto 0. De forma máis xeral, para un número enteiro positivo , o anel é un dominio se e só se é primo. Un dominio finito é automaticamente un corpo finito, segundo o teorema de Wedderburn. Os cuaternións forman un dominio non conmutativo. De forma máis xeral, calquera anel de división é un dominio, xa que todo elemento distinto de cero é invertíbel. O conxunto de todos os cuaternións de Lipschitz, é dicir, os cuaternións da forma onde a, b, c, d son números enteiros, é un subanel non conmutativo dos cuaternións, polo tanto un dominio non conmutativo. Do mesmo xeito, o conxunto de todos os cuaternións de Hurwitz, é dicir, os cuaternións da forma onde a, b, c, d son todos enteiros ou todos medios enteiros (enteiros dividos por 2), é un dominio non conmutativo. Un anel de matrices Mn (R) para n ≥ 2 nunca é un dominio: se R é distinto de cero, tal anel matricial ten divisores distintos de cero e incluso elementos nilpotentes distintos de 0. Por exemplo, o cadrado da matriz estándar E12 é 0. A álxebra tensorial dun espazo vectorial ou, de xeito equivalente, a álxebra de polinomios en variábeis non conmutativas sobre un corpo, é un dominio. Isto pódese demostrar usando unha ordenación nos monomios non conmutativos. Se R é un dominio e S é unha extensión de Ore de R, entón S é un dominio. A álxebra de Weyl é un dominio non conmutativo. A álxebra envolvente universal de calquera álxebra de Lie sobre un corpo é un dominio. A demostración usa a filtración estándar na álxebra envolvente universal e o teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt.

Os aneis de grupos e o problema do divisor cero Supoña que G é un grupo e K é un corpo. O anel de grupos é un dominio? A identidade

mostra que un elemento g de orde finita induce un divisor de cero en R. O problema do divisor cero pregunta se este é o único obstáculo; noutras palabras,

Dado un corpo K e un grupo libre de torsión G, é certo que K [G] non contén divisores de cero?

Non se coñecen contraexemplos, pero o problema segue aberto en xeral (até 2017).

Espectro dun dominio de integridade Os divisores de cero teñen unha interpretación topolóxica, polo menos no caso dos aneis conmutativos: un anel R é un dominio de integridade se e só se é reducido e o seu espectro Spec R é un espazo topolóxico irredutíbel. A miúdo considérase que a primeira propiedade codifica algunha información infinitesimal, mentres que a segunda é máis xeométrica.

Un exemplo: o anel , onde k é un corpo, non é un dominio, xa que as imaxes de x e y neste anel son divisores de cero. Xeométricamente, isto correspóndese co feito de que o espectro deste anel, que é a unión das liñas e , non é irredutíbel. De feito, estas dúas liñas son os seus compoñentes irredutíbeis.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos Divisor de cero Dominio de integridade Divisibilidade (teoría dos aneis)

Categoría:Estruturas alxébricas Categoría:Teoría de aneis