En matemáticas, un corpo está alxebricamente pechado (ou alxebricamente fechado) se todo polinomio non constante en (o anel polinómico univariado con coeficientes en ) ten unha raíz en . Noutras palabras, un corpo é alxebraicamente pechado se se cumpre o teorema fundamental da álxebra para el.
Todo corpo está contido nun corpo alxebricamente pechado e as raíces en dos polinomios con coeficientes en forman un corpo alxebricamente pechado chamado peche alxébrico de Dados dous peches alxébricos de hai isomorfismos entre eles que fixan os elementos de
Os corpos pechados alxebraicamente aparecen na seguinte cadea de inclusión de clases:
Exemplos Como exemplo, o corpo dos números reais non está pechado alxebricamente, porque a ecuación polinómica non ten solución nos números reais, aínda que todos os seus coeficientes (1 e 0) sexan reais.
O mesmo argumento demostra que ningún subcorpo do corpo real está pechado alxebricamente; en particular, o corpo dos números racionais non está pechado alxebricamente.
Pola contra, o teorema fundamental da álxebra afirma que o corpo dos números complexos está alxebricamente pechado. Outro exemplo de corpo alxebricamente pechado é o corpo dos números alxébricos (complexos).
Ningún corpo finito F está alxebricamente pechado, porque se a1, a2, ... , an son os elementos de F, entón o polinomio (x − a1)(x − a2) ⋯ (x − an ) + 1 non ten ceros en F.
No entanto, a unión de todos os corpos finitos de característica fixa p (p primo) é un corpo alxebricamente pechado, que é, de feito, o peche alxébrico do corpo con p elementos.
O corpo de funcións racionais con coeficientes complexos non está pechado; por exemplo, o polinomio ten raíces , que non son elementos de .
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Elemento enteiro Anel polinómico Ideal (teoría dos aneis) Enteiro cadrático
Ligazóns externas
Categoría:Teoría de corpos