En matemáticas, a ortogonalidade é a xeneralización da noción xeométrica de perpendicularidade á álxebra linear das formas bilineares.
Dous elementos e dun espazo vectorial con forma bilinear son ortogonais cando . Dependendo da forma bilinear, o espazo vectorial pode conter vectores nulos, vectores autoortogonais distintos de cero, nese caso a perpendicularidade substitúese pola ortogonalidade hiperbólica.
No caso dos espazos de funcións, as familias de funcións utilízanse para formar unha base ortogonal, como nos contextos de polinomios ortogonais, funcións ortogonais e combinatorias. miniatura|350x350px| Ortogonalidade e rotación dos sistemas de coordenadas en comparación entre a esquerda: Espazo euclidiano a través do ángulo circular ϕ, e a dereita: no espazo-tempo de Minkowski a través do ángulo hiperbólico ϕ (as liñas vermellas etiquetadas con c denotan as liñas do universo dun sinal luminoso, un vector é ortogonal a si mesmo se se atopa nesta liña).
Definicións
En xeometría, dous vectores euclidianos son ortogonais se son perpendiculares, é dicir forman un ángulo recto. Dous vectores e nun espazo de produto interno son ortogonais se o seu produto interno é cero. Esta relación denomínase . Un conxunto de vectores no espazo de produto interno chámanse ortogonais por pares se cada parella deles é ortogonal entre si. Tal conxunto chámase conxunto ortogonal (ou sistema ortogonal). Se os vectores están normalizados, forman un sistema ortonormal. Unha matriz ortogonal é unha matriz cuxos vectores columna son ortonormais entre si. Unha base ortonormal é unha base cuxos vectores son á vez ortogonais e normalizados (son vectores unitarios). Unha transformación linear conforme conserva ángulos e relacións de distancia, o que significa que transformar vectores ortogonais pola mesma transformación linear conforme manterá eses vectores ortogonais. Dous subespazos vectoriais e dun espazo produto interno chámanse subespazos ortogonais se cada vector de é ortogonal a cada vector de . O subespazo máis grande de que é ortogonal a un subespazo dado é o seu complemento ortogonal. Dado un módulo e o seu dual , un elemento de e un elemento de son cero se o seu emparellamento natural é cero. . Dous conxuntos e son ortogonais se cada elemento de é ortogonal a cada elemento de ..
Nalgúns casos, a palabra normal úsase para significar ortogonal, particularmente no sentido xeométrico como normal a unha superficie. Por exemplo, o eixo y é normal á curva na orixe.
No entanto, normal tamén pode referirse á magnitude dun vector. En particular, un conxunto chámase ortonormal (ortogonal e tamén normal) se é un conxunto ortogonal de vectores unitarios. Como resultado, adoita evitarse o uso do termo normal para significar "ortogonal". A palabra "normal" tamén ten un significado diferente en probabilidade e estatística.
Un espazo vectorial cunha forma bilinear xeneraliza o caso dun produto escalar. Cando a forma bilinear aplicada a dous vectores resulta en cero, entón son ortogonais. O caso dun plano pseudo-euclidiano usa o termo ortogonalidade hiperbólica. Na figura, os eixos x′ e t′ son hiperbólico-ortogonais para calquera dado.
Espazos vectoriais euclidianos No espazo euclidiano, dous vectores son ortogonais se e só se o seu produto escalar é cero, é dicir, forman un ángulo de 90° ( radiáns ), ou un dos vectores é cero. Polo tanto, a ortogonalidade dos vectores é unha extensión do concepto de vectores perpendiculares a espazos de calquera dimensión.
O complemento ortogonal dun subespazo é o espazo de todos os vectores que son ortogonais a todos os vectores do subespazo. Nun espazo vectorial euclidiano tridimensional, o complemento ortogonal dunha recta que pasa pola orixe é o plano que pasa pola orixe perpendicular a ela, e viceversa.
Funcións ortogonais Usando o cálculo integral, é común usar o seguinte para definir o produto interno de dúas funcións e en relación a unha función peso non negativa nun intervalo :
En casos simples, .
Dicimos que as funcións e son ortogonais se o seu produto interno (equivalentemente, o valor desta integral) é cero:
A ortogonalidade de dúas funcións en relación a un produto interno non implica a ortogonalidade en relación a outro produto interno.
Escribimos a norma en relación a este produto interno como
Os membros dun conxunto de funcións son ortogonais en relación a no intervalo se
Os membros de tal conxunto de funcións son ortonormais en relación a no intervalo se
onde
é o delta de Kronecker.
Noutras palabras, cada par deles (excluíndo o emparellamento dunha función consigo mesma) é ortogonal e a norma de cada un é 1. Véxase en particular os polinomios ortogonais.
Exemplos
Os vectores son ortogonais entre si, posto que and . Os vectores e son ortogonais. O produto escalar deles é cero. As funcións e son ortogonais en relación a un peso unidade no intervalo de −1 a 1:
As funcións son ortogonais en relación a integración de Riemann nos intervalos , ou calquera outro intervalo pechado de lonxitude . Este feito é central nas series de Fourier.
Polinomios ortogonais Varias secuencias polinómicas nomeadas con nomes de matemáticos do pasado son secuencias de polinomios ortogonais. En particular:
Os polinomios de Hermite son ortogonais en relación á distribución gaussiana cun valor medio cero. Os polinomios de Legendre son ortogonais en relación á distribución uniforme no intervalo . Os polinomios de Laguerre son ortogonaisen relación á distribución exponencial . As secuencias polinómicas de Laguerre algo máis xerais son ortogonais en relación ás distribucións gamma. Os polinomios de Chebyshev do primeiro tipo son ortogonais en relación á medida Os polinomios de Chebyshev do segundo tipo son ortogonais en relación á distribución semicírculo de Wigner.
Combinatoria En combinatoria, dous cadrados latinos son ortogonais se a súa superposición dá todas posíbeis combinacións de entradas .
Completamente ortogonal Dous planos planos (non curvos) e dun espazo euclidiano de catro dimensións chámanse completamente ortogonais se e só se cada recta que está en é ortogonal a cada recta en . Nese caso os planos e cortaránse nun único punto , de xeito que se unha recta en corta cunha recta en , crúzanse en . e son perpendiculares e paralelas de Clifford.
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Número imaxinario Complemento ortogonal Grupo ortogonal Matriz ortogonal Polinomios ortogonais Poliedro ortogonal Traxectoria ortogonal Ortogonalización Proceso de Gram-Schmidt Base ortonormal Ortonormal
Categoría:Álxebra lineal Categoría:Álxebra abstracta Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas