Na álxebra abstracta, un anel de matrices ou anel matricial é un conxunto de matrices con entradas nun anel R que forman un anel baixo a suma e a multiplicación de matrices.
O conxunto de todas as matrices con entradas en R é un anel de matrices denotado como Mn (R) (notacións alternativas: Matn (R) e ). Algúns conxuntos de matrices infinitas forman aneis de matrices infinitas.
Un subanel dun anel matricial é tamén un anel matricial. Sobre un rng, pódense formar rngs de matrices.
Cando R é un anel conmutativo, o anel de matrices Mn(R) é unha álxebra asociativa sobre R, e pódese chamar álxebra de matrices. Nesta configuración, se M é unha matriz e r está en R, entón a matriz rM é a matriz M con cada unha das súas entradas multiplicada por r.
Exemplos
O conxunto de todas as matrices cadradas sobre R, denotadas Mn(R). Isto ás veces chámase "anel completo de matrices n-por-n". O conxunto de todas as matrices triangulares superiores sobre R. O conxunto de todas as matrices triangulares inferiores sobre R. O conxunto de todas as matrices diagonais sobre R. Esta subálxebra de Mn(R) é isomorfa ao produto directo de n copias de R.
A intersección dos aneis da matriz finita fila e columna finita forma un anel . Se R é conmutativo, entón Mn(R) ten unha estrutura de *-álxebra sobre R, onde a involución * en Mn(R) é unha transposición de matriz.
Un anel matricial sobre un corpo é unha álxebra de Frobenius, coa forma de Frobenius dada pola traza do produto: .
Estrutura
O anel matricial Mn(R) pódese identificar co anel de endomorfismos do módulo libre pola dereita R de rango n; é dicir, . A multiplicación de matrices corresponde á composición de endomorfismos. O anel Mn(D) sobre un anel de división D é un anel simple artiniano, un tipo especial de anel semisimple. Os aneis e son non simples e non artinianos se o conxunto I é infinito, mais aínda son aneis lineares completos. O teorema de Artin-Wedderburn afirma que todo anel semisimple é isomorfo a un produto directo , para algúns enteiros non negativos r, e enteiros positivos ni e aneis de división Di. Cando vemos Mn(C) como o anel de endomorfismos lineares de Cn, aquelas matrices que desaparecen nun subespazo dado V forman un ideal pola esquerda. Pola contra, para un ideal esquerdo dado I de Mn(C) a intersección de espazos nulos de todas as matrices en I dá un subespazo de Cn. Baixo esta construción, os ideais pola esquerda de Mn(C) están en bixección cos subespazos de Cn.
Propiedades
Se S é un subanel de R, entón Mn(S) é un subanel de Mn(R). Por exemplo, Mn(Z) é un subanel de Mn(Q). O anel de matrices Mn(R) é conmutativo se e só se , ou R é conmutativo e . De feito, isto é certo tamén para o subanel de matrices triangulares superiores. Aquí temos un exemplo que mostra dúas matrices triangulares superiores que non conmutan, asumindo en R :
e
Para , o anel de matrices Mn(R) sobre un anel distinto de cero ten divisores nulos e elementos nilpotentes; o mesmo ocorre co anel de matrices triangulares superiores. Un exemplo en matrices sería
O centro de Mn(R) está formado polos múltiplos escalares da matriz identidade, In, nos que o escalar pertence ao centro de R. O grupo unitario de Mn(R), formado polas matrices invertíbeis baixo multiplicación, denomínase GLn(R). Se F é un corpo, daquela para dúas matrices calquera A e B en Mn(F), a igualdade implica . No entanto, isto non é certo para todos os aneis R. Un anel R cuxos aneis matriciais teñen todos a propiedade mencionada coñécese como un anel establemente finito .
Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Álxebra central simple Álxebra de Clifford Teorema de Hurwitz (algebras de división) Lei de inercia de Sylvester
Categoría:Teoría de aneis Categoría:Estruturas alxébricas