alt=Plot of the logarithmic integral function li(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D|miniatura| Gráfico da función integral logarítmica li(z) no plano complexo de -2-2i a 2+2i con cores creadas coa función de Mathematica 13.1 ComplexPlot3D En matemáticas, a función integral logarítmica ou logaritmo integral li( x ) é unha función especial. É relevante en problemas de física e ten importancia na teoría de números. En particular, segundo o teorema dos números primos, é unha moi boa aproximación á función de contaxe de primos, que se define como o número de números primos menores ou iguais a un determinado valor . dereita|miniatura|300x300px| Gráfica de función integral logarítmica
Representación como integral O logaritmo integral ten unha representación enteira definida para todos os números reais positivos ≠ 1 pola integral definida
Aquí, denota o logaritmo natural. A función ten unha singularidade en , e a integral para interprétase como un valor principal de Cauchy,
Logaritmo integral desprazado O logaritmo integral desprazado ou integral logarítmica euleriana defínese como
Como tal, a representación integral ten a vantaxe de evitar a singularidade no dominio da integración.
De forma equivalente,
Valores especiais A función li(x) ten un único cero positivo; ocorre en x ≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... ; este número coñécese como constante de Ramanujan-Soldner.
≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151...
Isto é onde é a función gamma incompleta. Debe entenderse como o valor principal de Cauchy da función.
Representación en serie A función li(x) está relacionada coa integral exponencial Ei(x) mediante a ecuación
que é válido para x > 0. Esta identidade proporciona unha representación en serie de li(x) como
onde γ ≈ 0,57721 56649 01532... é a constante de Euler-Mascheroni. Unha serie máis rapidamente converxente de Ramanujan é
Expansión asintótica O comportamento asintótico para é
onde é a notación O grande. A expansión asintótica completa é
ou
Isto dá o seguinte comportamento asintótico máis preciso:
Como expansión asintótica, esta serie non é converxente: é unha aproximación razoábel só se a serie se trunca nun número finito de termos e só se empregan valores grandes de x. Esta expansión segue directamente da expansión asintótica para a integral exponencial.
Isto implica, por exemplo, que podemos a podemos limitar por ambos lados como:
para todo .
Importancia en teoría de números A integral logarítmica é importante na teoría de números, xa que aparece nas estimacións do número de números primos inferiores a un valor dado. Por exemplo, o teorema dos números primos indica que:
onde indica o número de primos menores ou iguais a .
Asumindo a hipótese de Riemann, temos unha relación aínda máis forte:
De feito, a hipótese de Riemann é equivalente á afirmación de que:
para calquera .
Para pequenos , mais a diferenza muda de signo un número infinito de veces cando aumenta, e a primeira vez que isto ocorre é entre 1019 e .
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos
Ligazóns externas
Categoría:Funcións Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas Categoría:Teoría analítica de números