miniatura|dereita|Un sistema lineal de tres variables determina unha colección de planos. O punto de intersección é a solución. En matemáticas, un sistema de ecuacións lineais (ou sistema linear) é unha colección de ecuacións lineais que levan o mesmo conxunto de variables. Por exemplo,
é un sistema de tres ecuacións das tres variables , e . Unha solución a un sistema lineal é unha asignación de números ás variables de xeito que tódalas ecuacións sexan simultaneamente satisfeitas. Unha solución ao sistema anterior é dada por
xa que fai que as tres ecuacións sexan válidas.
En matemáticas, a teoría de sistemais lineais é unha rama da álxebra lineal, unha materia fundamental das matemáticas modernas. Os algoritmos computacionais para atopar solucións son unha parte importante da álxebra lineal numérica e, tales métodos, xogan un rol moi importante na enxeñería, a física, a química, a informática e as ciencias económicas. Adoito, un sistema de ecuacións non lineais pódese aproximar por un sistema lineal (ver linealización), unha técnica útil para facer un modelo matemático ou unha simulación computerizada dun sistema relativamente complexo.
Exemplo elemental Un dos tipos máis sinxelos de sistema linear implica dúas ecuacións e dúas variábeis:
Un método para resolver un sistema deste tipo é o seguinte. Primeiro, resolva a ecuación superior para en función de (o que usualmente se chama despexar ou resolver a ):
Agora substitúa esta expresión por x na ecuación inferior:
Isto dá como resultado unha única ecuación que inclúe só a variábel . Ao resolver temos , e substituíndo isto de novo na ecuación con obtemos .
Forma xeral Un sistema xeral de m ecuacións lineares con n incógnitas e os coeficientes, de cada ecuación e cada incógnita, pódese escribir como
onde son as incógnitas, son os coeficientes do sistema e son os termos constantes.
Ecuación vectorial Unha visión moi útil é que cada incógnita é un peso para un vector columna nunha combinación linear.
Ecuación matricial A ecuación vectorial é equivalente a unha ecuación matricial da forma
onde A é unha matriz de dimensión m×n, x é un vector columna con n coeficientes e b é un vector columna con m coeficientes.
Agora poderemos relacionar conceptos do sistema coas matrices como o rango da matriz.
Conxunto de solucións thumb|O conxunto de solucións para as ecuacións e é o punto único (2, 3).
Unha solución] dun sistema linear é unha asignación de valores ás variábeis de forma que se cumpre para cada unha das ecuacións. O conxunto de todas as posíbeis solucións chámase conxunto de solucións.
Un sistema linear pode comportarse de calquera das tres formas seguintes: O sistema ten infinitas solucións. O sistema ten unha solución única. O sistema non ten "ningunha solución".
Interpretación xeométrica Para un sistema que inclúe dúas variábeis (x e y), cada ecuación linear determina unha recta no plano xy. Dado que unha solución dun sistema linear debe satisfacer todas as ecuacións, o conxunto solución é a intersección destas rectas e, polo tanto, é unha recta (cando as rectas son coincidentes), un só punto (cando as rectas se cruzan) ou o conxunto baleiro (cando as rectas son paralelas).
Para tres variábeis, cada ecuación linear determina un plano no espazo tridimensional, e o conxunto de solucións é a intersección destes planos. De modo parecido que en dúas dimensións, con máis combinacións de posibilidades, os planos poden coincidir, seren paralelos ou intersecar nun punto ou nunha recta.
Para n variábeis a interpretación sería dentro dun hiperplano.
Comportamento xenérico En xeral, o comportamento dun sistema linear está determinado pola relación entre o número de ecuacións e o número de incógnitas. Un sistema con menos ecuacións que incógnitas ten infinitas solucións, pero pode que non teña solución. Este sistema coñécese como sistema indeterminado. Un sistema co mesmo número de ecuacións e incógnitas ten unha solución única. En xeral, un sistema con máis ecuacións que incógnitas non ten solución. Este sistema tamén se coñece como sistema sobredeterminado. No primeiro caso, a dimensión do conxunto de solucións é, en xeral, igual a , onde n é o número de variábeis e m é o número de ecuacións.
Un sistema de ecuacións lineares compórtase de forma diferente ao caso xeral se as ecuacións son dependentes linearmente, ou se é inconsistente e non ten máis ecuacións que incógnitas.
Propiedades
Independencia As ecuacións dun sistema linear son independentes se ningunha das ecuacións se pode derivar alxébricamente das outras. Cando as ecuacións son independentes, cada ecuación contén nova información sobre as variábeis, e ao eliminar calquera das ecuacións aumenta o tamaño do conxunto de solucións.
thumb|As ecuacións , e son linearmente dependentes porque a terceira é a suma das dúas primeiras. Por exemplo, as ecuacións
non son independentes: son a mesma ecuación cando se escalan cun factor de dous e producirían gráficos idénticos. Este é un exemplo de equivalencia nun sistema de ecuacións lineares.
Para un exemplo máis complicado, as ecuacións
non son independentes, porque a terceira ecuación é a suma das outras dúas. De feito, calquera destas ecuacións pódese derivar das outras dúas, e calquera das ecuacións pódese eliminar sen afectar ao conxunto de solucións. As gráficas destas ecuacións son tres rectas que se cortan nun só punto.
Consistencia thumb|As ecuacións e son inconsistentes. Un sistema linear é inconsistente se non ten solución e no caso contrario, dise que é consistente. Cando o sistema é inconsistente, é posíbel derivar unha contradición das ecuacións, que sempre pode reescribirse como a declaración .
Por exemplo, as ecuacións
son inconsistentes. De feito, restando a primeira ecuación da segunda e multiplicando os dous lados do resultado por 1/6, obtemos . As gráficas destas ecuacións no plano xy son un par de liñas paralelas.
É posíbel que tres ecuacións lineares sexan inconsistentes, aínda que dúas calquera delas sexan consistentes xuntas. Por exemplo, as ecuacións
son inconsistentes. Sumando as dúas primeiras ecuacións temos , que se pode restar da terceira ecuación para obter . Dúas destas ecuacións teñen unha solución común. O mesmo fenómeno pode ocorrer para calquera número de ecuacións.
En xeral, as inconsistencias ocorren se os lados esquerdos das ecuacións dun sistema son linearmente dependentes e os termos constantes non satisfán a relación de dependencia. Un sistema de ecuacións cuxos lados esquerdos son linearmente independentes sempre é consistente.
Dito doutro xeito, segundo o teorema de Rouché-Capelli, calquera sistema de ecuacións (sobredeterminado ou non) é inconsistente se o rango da matriz aumentada é maior que o rango da matriz de coeficientes. Se, pola contra, os rangos destas dúas matrices son iguais, o sistema debe ter polo menos unha solución. A solución é única se e só se o rango é igual ao número de variábeis. En caso contrario, a solución xeral ten k parámetros libres onde k é a diferenza entre o número de variábeis e o rango; daí que en tal caso exista unha infinidade de solucións.
Os sistemas de ecuacións pódense clasificar segundo o número de solucións que poden presentar. Segundo este caso, pódense presentar os seguintes casos:
Sistema compatíbel ou posíbel se ten solución, neste caso tamén se pode distinguir entre: Sistema compatíbel determinado ou posíbel determinado cando tes unha única solución. Sistema compatíbel indeterminado ou posíbel indeterminado cando admite un conxunto infinito de solucións. Sistema incompatíbel ou imposíbel se non hai solución.
Un sistema é compatíbel determinado .
Equivalencia Dous sistemas lineares que usan o mesmo conxunto de variábeis son equivalentes se cada unha das ecuacións do segundo sistema se pode derivar alxébricamente a partir das ecuacións do primeiro sistema, e viceversa. Dous sistemas son equivalentes se ambos os dous son inconsistentes ou cada ecuación de cada un deles é unha combinación linear das ecuacións do outro. Por tano dous sistemas lineares son equivalentes se e só se teñen o mesmo conxunto de solucións.
Resolver un sistema linear Eliminación de variábeis O método máis elemental para resolver un sistema de ecuacións lineares é eliminar varias variábeis. Este método pódese describir do seguinte xeito: Na primeira ecuación, resolva unha das variábeis en función das outras. Substitúa esta expresión nas ecuacións restantes. Isto dá un sistema de ecuacións cunha ecuación e unha incógnita menos. Repita os pasos 1 e 2 ata que o sistema se reduza a unha única ecuación linear. Resolva esta ecuación Percorra cara atrás as ecuacións substituíndo os valores conseguidos ata atopar a solución completa.
Por exemplo, considere o seguinte sistema:
Resolvendo a primeira ecuación para temos , e metendo ese resultado na segunda e terceira ecuación obtemos
que ao simplificar fica como
Xa que a parte esquerda destas dúas ecuacións (LHS en inglés) é igual a y, ao igualar as partes dereitas das ecuacións (RHS en inglés) temos unha ecuación cunha única incógnita. Agora temos:
Imos cara atrás e substituímos z = 2 na segunda ou terceira ecuación dá y = 8, e os valores de y e z na primeira ecuación producen x = - 15. Polo tanto, o conxunto de solucións é o terna ordenada .
Redución de filas
Na redución de filas (tamén coñecida como eliminación de Gauss), o sistema linear represéntase como unha matriz aumentada
A continuación, esta matriz modifícase usando operacións elementais de filas ata alcanzar a forma escalonada de filas reducida. Hai tres tipos de operacións elementais de filas: Tipo 1: troca as posicións de dúas filas. Tipo 2: Multiplica unha fila por un escalar (número) distinto de cero. Tipo 3: Suma ou resta a unha fila outra fila multiplicada por un escalar. Dado que estas operacións son reversíbeis, a matriz aumentada producida sempre representa un sistema linear que é equivalente ao orixinal.
Existen varios algoritmos específicos para reducir por filas unha matriz aumentada, o máis sinxelo é a eliminación de Gauss (ou Gauss-Jordan). O seguinte cálculo mostra a eliminación de Gauss-Jordan aplicada á matriz anterior:
A última matriz está en forma de chanzo de fila reducida e representa o sistema . Unha comparación co exemplo da sección anterior sobre a eliminación alxébrica de variábeis mostra que estes dous métodos son de feito iguais; a diferenza radica en como se escriben os cálculos.
Regra de Cramer
A regra de Cramer é unha fórmula explícita para a solución dun sistema de ecuacións lineares, con cada variábel dada por un cociente de dous determinantes. Seguindo co exemplo deste artigo:
Para cada variábel, o denominador é o determinante da matriz de coeficientes, mentres que o numerador é o determinante dunha matriz na que unha columna foi substituída polo vector de termos constantes.
Aínda que a regra de Cramer é importante teoricamente, ten pouco valor práctico para matrices grandes, xa que o cálculo de grandes determinantes é un bocadiño engorroso.
Solución matricial Se o sistema de ecuacións se expresa na forma matricial , o conxunto de solucións enteiro tamén se pode expresar en forma matricial. Se a matriz A é cadrada (ten m filas e n=m columnas) e ten rango completo (todas as filas m son independentes), entón o sistema ten unha solución única dada por
onde é a inversa de A. De forma máis xeral, independentemente de se m=n ou non e independentemente do rango de A, todas as solucións (se as existen) danse usando a inversa de Moore-Penrose de A, denotada como , como segue:
onde é un vector de parámetros libres que abrangue todos os posíbeis vectores de dimensión .
Outros métodos