dereita|miniatura|Figuras con simetría bilateral e sen ela (asimétrica) dereita|miniatura|O home de Vitruvio de Leonardo da Vinci (ca. 1487) úsase frecuentemente como representación da simetría no corpo humano e, por extensión, en todo o universo.
O termo simetría (do grego συμμετρία symmetría "medida conxunta") ten xeralmente dous significados. O primeiro fai referencia a un concepto impreciso de harmonía ou estética que resulta agradábel e pracenteiro aos sentidos Así o escultor grego Policleto, nun libro seu sobre as proporcións, ligaba a simetría coa beleza. O segundo significado é máis preciso e está relacionado con certas propiedades xeométricas que denotan patróns de autosimilitude ou de repetición que posúen algúns corpos, como ocorre, por exemplo, na simetría bilateralSimetría, Hermann Weyl en El mundo de las matemáticas (tomo 4). Ed. Grijalbo. ISBN 84-253-0254-4 (en castelán).
Aínda que ambos significados son distinguíbeis nalgúns contextos, na maioría das ocasións aparecen intimamente ligados.
O concepto de simetría aparece en infinidade de situacións. Así, pode ser observada: con respecto ao paso do tempo; como unha relación espacial; en transformacións xeométricas como homotecias, reflexións e rotacións; a través doutras clases de transformacións funcionais como, por exemplo, na repetición regular dun patrón no pavimento, en transformacións complexas de ecuacións, ou na maneira en que se executa unha peza musical. como unha característica de obxectos abstractosOs obxectos simétricos poden ser materiais como unha persoa, un cristal, un cobertor, un pavimento, ou unha molécula; ou poden ser obxectos abstractos como unha ecuación matemática ou unha serie de tons musicais, de teorías científicas, da linguaxe, da música e, mesmo, do coñecemento en siKlaus Mainzer, The Spirit and Beauty of Nonlinear Science, Ed. World Scientific ISBN 981-256-192-7 (en inglés).
O contrario da simetría é a asimetría.
Simetría en matemáticas Simetría en xeometría O termo simetría ten dous posíbeis significados en xeometríaSimetría en Enciclopedia de las Matemáticas, tomo 9-2 (1994). Eds. Mir-Rubinos. ISBN 84-8041-080-9 (en castelán): A simetría como transformación xeométrica miniatura|esquerda|Simetría axial no plano. A recta p é o eixo de simetría. A simetría é unha é unha transformación isométrica involutiva que altera a orientación. A isometría refírese a que non altera as medidas. A involución significa que aplicándoa dúas veces se volve ao estado inicial. A simetría no plano recibe o nome de simetría axial a cal, dada unha recta e do plano, que se denomina eixo de simetría, transforma un punto calquera P do plano, noutro punto P´ tal que a recta e é a mediatriz do segmento PP´. A simetría no espazo recibe o nome de simetría especular que se caracteriza porque, dado un plano Π do espazo, chamado plano de simetría, transforma un punto calquera P do espazo que non estea en Π, noutro punto P´ tal que o plano Π é perpendicular ao segmento PP´ no seu punto medio; se P está en Π entón o seu transformado é el mesmo. Se multiplicamos (aplicamos sucesivamente ou compoñemos) simetrías tanto no plano como no espazo, se obtén unha transformación chamada movemento. Exemplos de movementos son: As propias simetrías axial e especular. Unha rotación ou xiro é un movemento que se obtén do produto, no plano ou no espazo, de dúas simetrías de eixos ou planos de simetría secantes, respectivamente. Se o número de simetrías que se multiplican é par, se di que a rotación é propia (conserva a orientación). En caso contrario é impropia (altera a orientación). Unha translación é un movemento que se obtén do produto, no plano ou no espazo, de simetrías de eixos ou planos de simetría paralelos, respectivamente. Ao igual cos xiros, as translacións poden ser propias ou impropias. Un movemento helicoidal no espazo é o produto dunha translación por unha rotación, ou viceversa. Tamén poden ser propias ou impropias.
A simetría como propiedade miniatura|dereita|200px|Figura con simetría de orde 7 A simetría é a propiedade que ten un corpo ou unha figura do plano ou do espazo, que consiste en permanecer invariante por algún dos movementos anteriores. O conxunto de tódolos movementos que deixan invariante un obxecto φ ten a estrutura matemática de grupo e recibe o nome de grupo de simetría de φ: Gφ.
Así, algúns exemplos de simetrías son: A simetría reflectiva, que é a axial no plano e a especular no espazo. Esta última é a que posúen os seres vivos con bilateria, chamada precisamente simetría bilateral. O plano de simetría é o plano saxital. A simetría helicoidal que caracteriza a algunhas plantas. A simetría de translación dalgúns pavimentos, cobertores, frisos etc. A simetría radial, visíbel nalgúns seres vivos como a estrela de mar, nas flores de certas plantas, en cristalografía etc. Se Φ é unha figura do plano que permanece invariante ao lle aplicar xiros con centro nun certo punto O e amplitude un múltiplo de 360º/n; dise que Φ posúe unha simetría de n-ésima orde e O chámase centro de simetría de n-ésima orde. Neste caso, o grupo de simetría de Φ, GΦ, é un grupo cíclico de orde n. Analogamente se define a simetría de n-ésima orde no espazo respecto dun eixo de simetría. Por exemplo, un cubo ten unha simetría de cuarta orde (tamén se di que é 4-simétrico) respecto da recta que pasa polos centros de dúas caras opostas; e unha simetría de terceira orde se o eixo de simetría é unha diagonal.
Simetría en álxebra miniatura|dereita|250px|Triángulo de Tartaglia Certas fórmulas manteñen simetría na súa expresión como a fórmula das potencias enteiras dun binomio (a+b)n, debida en gran medida á simetría do triángulo de Tartaglia, cuxas filas son os coeficientes dos termos do desenvolvemento de (a+b)n. Unha relación binaria R nun conxunto A ten a propiedade simétrica se dados a,b elementos de A tal que aRb, entón se verifica tamén que bRa. Un exemplo de relación simétrica é a relación de congruencia módulo m, nos números naturais. Nun grupo, o simétrico dun elemento é aquel que operado con el, dá como resultado o elemento neutro do grupo. En grupos aditivos, o elemento neutro se denota por 0, e o simétrico dun elemento é o seu oposto. En grupos multiplicativos, o elemento neutro se denota por 1, e o simétrico dun elemento é o seu inverso. Unha matriz cadrada é simétrica se coincide coa súa trasposta.
Moitas máis definicións fan referencia á simetría, así hai polinomios simétricos, grupos simétricos e formas bilineais simétricas. En álxebra superior hai moitas máis situacións onde aparece o concepto de simetría, como na Teoría de Galois ou no estudo da dualidade.
Simetría en topoloxía Dado un conxunto X, unha simétrica sobre X é unha función real non negativa d, definida sobre os pares de X, que verifica os axiomas: d(x,y)=0 se o só se x=y d(x,y)=d(y,x) para calquera x e y de X A diferenza da métrica ou da seudométrica, a simétrica non ter por que verificar a desigualdade triangular. Porén, permite definir unha topoloxía en X. Reciprocamente, un espazo topolóxico dise que é simetrizábel se a súa topoloxía está xerada por unha simétrica.
Simetría en análise matemática miniatura|esquerda|Función par. miniatura|esquerda|Función impar. Unha función real de variábel real é par ou simétrica respecto do eixo vertical se valores opostos teñen imaxes iguais, é dicir, se f(-x)=f(x) para calquera x do dominio de f. Unha función real de variábel real é impar ou simétrica respecto da orixe de coordenadas se valores opostos teñen imaxes opostas, é dicir, se f(-x)=-f(x) para calquera x do dominio de f. Unha simetría dunha ecuación diferencial é unha transformación que deixa invariante a ecuación diferencial. Unha simetría de Lie nun sistema de ecuacións diferenciais é unha simetría continua do sistema de ecuacións diferenciais. O coñecemento das simetrías e das simetrías de Lie é de moita axuda para resolver ecuacións e sistemas de ecuacións diferenciaisOlver, Peter J. (1986). Applications of Lie Groups to Differential Equations. New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95000-6 (en inglés).
Existen máis exemplos na Análise Matemática onde intervén o concepto de simetría, como no dominio de integración das integrais múltiples.
Simetría no cálculo de probabilidades e estatística miniatura|Pierre-Simon de Laplace, un dos pais do Cálculo de Probabilidades. Se os sucesos elementais dun experimento aleatorio son equiprobábeis dise que hai simetría dos sucesos elementais. Cando isto ocorre, úsase a regra de Laplace (casos favorábeis/casos posíbeis) para calcular probabilidades de sucesos. Algunhas variábeis aleatorias son simétricas no sentido de que as probabilidades espállanse equitativamente á dereita e esquerda dun valor central, normalmente a media. Esta simetría apréciase na función de probabilidade da distribución binomial e nas funcións de densidade das distribucións uniforme, normal, de Laplace, ou a t de Student. En teoría de xogos, un xogo é simétrico cando as recompensas por xogar unha estratexia particular dependen só das outras estratexias empregadas, non de quen as xogue. Se se poden intercambiar as identidades dos xogadores sen cambiar as recompensas, o xogo é simétrico.
Simetría en física miniatura|esquerda|250px|Ilustración de 1874 explicativa da reflexión da luz. miniatura|esquerda|250px|Partículas que constitúen o Modelo estándar Algúns exemplos de fenómenos físicos onde se observa simetría son: O movemento dunha partícula impulsada verticalmente cara a arriba (desprezando a resistencia do aire): A posición da partícula é simétrica con respecto ao instante no que o obxecto está á altura máxima. En cada punto da traxectoria a velocidade de subida é a mesma ca de baixada. O centro de gravidade dos corpos que posúen simetría radial coincide co centro de simetría. Se o corpo posúe un eixo de simetría, o centro de gravidade será algún punto de dito eixo. A reflexión da luz é un fenómeno con clara simetría reflectiva. O campo eléctrico debido a un cable ten simetría cilíndrica pois a intensidade do campo eléctrico a unha certa distancia r do cable cargado electricamente de lonxitude infinita, terá do mesmo valor en tódolos puntos da superficie dun cilindro (cuxo eixo é o cable) de radio r. Xirando o cable sobre o seu propio eixo, non varía a súa posición nin a súa densidade de carga, polo tanto o campo eléctrico tampouco e, en consecuencia, a intensidade do campo é a mesma e cada punto. Na electrónica de radiofrecuencia, fálase dunha alimentación simétrica de AC cando ningún dos condutores está á masa. Cando un dos condutores está á masa e o outro experimenta as variacións de tensión, dise que a alimentación é asimétrica. Na teoría da relatividade especial estúdanse certas simetrías espazo-temporais que conservan as distancias. No modelo estándar da física de partículas, a simetría CPT é unha simetría fundamental das leis físicas en transformacións onde interveñen simultaneamente a carga (C), a paridade (P) e o tempo (T). Unha clase de simetría coñecida como supersimetría, ou abreviadamente SUSY, está sendo usada para facer avances teóricos no modelo estándar. A supersimetría baséase na idea de que hai outra simetría física ademais das xa desenvolvidas no modelo estándar. A supersimetría afirma que cada partícula elemental ten a súa partícula supersimétrica. Aínda non foi verificada experimentalmente e de ser certa, suporía un grande avance para a teoría do campo unificado que unifica, introducindo principios comúns, os catro tipos de forza que se coñecen: a gravitacional, a electromagnética, a nuclear feble e a nuclear forteLHC, The Guide and FAQ. Ed. CERN Publications Section, Xenebra (2008). miniatura|esquerda|150px|Unha rotación dun sexto de volta permuta os átomos da molécula de benceno sen modificar a súa estrutura. miniatura|200px|dereita|Simetria radial de orde 5 na flor de Estramonio
Simetría en química