A püthagoraszi hangolás következetesen kvintekből, a kvintkör szerint felépülő temperálás, amelyben a püthagoraszi kommát egyetlen nem tiszta kvint küszöböli ki, a szintonikus komma pedig a tercek nagy részénél teljesen megmarad. Előnye a tiszta hangoláshoz képest az, hogy több hangnemben is lehet elfogadhatóan játszani, a kiegyenlített hangolástól eltérően pedig tartalmaz tiszta hangközöket, így például a Gisz-Esz kvintet szűkítő változatban az alaphangnemen belül tiszta a nagyszekund, a kvart, a kvint, a kisszeptim és az oktáv. A középhangú temperálás elterjedéséig egyeduralkodó volt e hangolás az európai zenében, csak a terc konszonánssá válása és az ennek nyomán jelentkező új igények tudták a reneszánsz idején visszaszorítani más temperálásokhoz képest.

Általános hangolás Alapszámítások

A püthagoraszi hangsor alapjául a tiszta kvint szolgál, melynek arányszáma 3/2, az ehhez tartozó centérték pedig a következő képlettel számítható ki:

Ebből a kvintből építünk egymásra tizenkettőt, hogy megkapjuk a hangsor elemeit. Mivel azonban 12 tiszta kvint nem egyenlő 7 tiszta oktávval, vagyis

így a kvintkör nem záródik, és fennmarad a püthagoraszi komma, melynek értéke:

Ennek következményeként ezen hangolásban minden hangközből két különböző fajta található, egy kisebb és egy nagyobb, K (23,46 cent) eltéréssel. Szemléletesen ezt úgy magyarázhatjuk, hogy például a C-ről kiindulva az F hangot kétféleképpen kaphatjuk meg: vagy egymásra építünk fölfelé 11 kvintet, vagy pedig C-ről lépünk egy kvintet lefelé. A püthagoraszi komma létezése miatt a két kvart (C-F) nem lesz egyforma, az első esetben a centérték 521,505, a másodikban 498,045 (a különbség 23,46).

Felépítés

A püthagoraszi hangsor kvintekből való építkezését mutatja be a következő táblázat. Az első oszlop tartalmazza a lépésszámot, a második az abszolút centértéket, a harmadik a közös oktávba transzponáltat (matematikailag ezt értelemszerűen úgy kapjuk meg, hogy vesszük az 1200-zal való osztás maradékát), a negyedik pedig a megkapott hangköz kiegészítő hangközét (például a tiszta kvintnél a tiszta kvartot stb.), ami ugyanaz, mintha lefelé kezdtünk volna el a kvintekből építkezni, és amire a következőkben lesz szükségünk a hangközök két különböző fajtájának meghatározásához.

iC = i * Ckvintk1 = C mod 1200k2 = 1200 – k10001200 (0)1701,955701,955498,04521403,91203,91996,0932105,865905,865294,13542807,82407,82792,1853509,7751109,77590,22564211,73611,73588,2774913,685113,6851086,31585615,64815,64384,3696317,595317,595882,405107019,551019,55180,45117721,505521,505678,495128423,4623,461176,54

Hangközök

A fenti számokat sorrendbe téve meghatározhatjuk a hangközöket, és kiszámíthatjuk eltérésüket a tiszta hangolású hangsor (t) elemeitől:

Hang neveHangköz nevetk1t – k1k2t – k2CPrím0,00023,460-23,4600,0000,000CiszKisszekund111,731113,685-1,95490,22521,506DNagyszekund203,910203,9100,000180,45023,460EszKisterc315,641317,595-1,954294,13521,506ENagyterc386,314407,820-21,506384,3601,954FKvart498,045521,505-23,460498,0450,000FiszTritonus590,224611,730-21,506588,2701,954GKvint701,955701,9550,000678,49523,460GiszKisszext813,686815,640-1,954792,18021,506ANagyszext884,359905,865-21,506882,4051,954BKisszeptim996,0901019,550-23,460996,0900,000HNagyszeptim1088,2691109,775-21,5061086,3151,954

k1 – k2 láthatóan minden esetben 23,46, vagyis a püthagoraszi komma. A kisterc és a nagyterc egy-egy változata (294,135 ill. 407,82) 21,506 centtel tér el a tiszta hangolás által megkövetelt értéktől: ez a különbség a szintonikus komma, ami a püthagoraszi hangolást – a terc szerepének felértékelődése miatt – a középkorban használatra alkalmatlanná teszi, és kikényszeríti a tiszta terceket tartalmazó középhangú temperálás megalkotását. Megjegyzendő, hogy a két terc másik két változata csak 1,954-del tér el a tiszta hangolástól, azonban ezen változatokból csupán 3 illetve 4 fordul elő az adott hangsorban, szemben a nem tiszta tercek 8 illetve 9 darabszámával

Hangolás szűkített Gisz-Esz kvinttel

Ahhoz, hogy a kvintkör bezáruljon, a kvintlánc egyik helyén a szokásosnál kisebb kvintet, az ún. farkaskvintet kell használni a tiszta kvint helyett. Attól függően, hogy melyik kvintet csökkentjük, kaphatjuk meg a püthagoraszi hangolás különböző változatait. (Nem célszerű ezt a lánc végére, az F-C kvintre hagyni, mert az sok zenében előfordul, melyek így mind hamisan szólnának.) A legelterjedtebb megoldás a Gisz-Esz kvint csökkentése; a továbbiakban ennek tulajdonságait vizsgáljuk, azon megjegyzéssel, hogy az egyéb változatok is nagyon hasonlóak ehhez, csak más helyeken jelennek meg a különböző hangköztípusok.

Felépítés

Az általános esethez hasonlóan tiszta kvintekből építjük fel a hangsorunkat, ügyelve arra, hogy a Gisz-Esz kvintben (a 9. lépésben) levonjuk a kommát. Az alábbi táblázat első oszlopa a hang nevét mutatja, a második a lépésszámot, a harmadik az általános hangolás abszolút centértékeit, a negyedik a kommát, amit az Esz-től kezdve alkalmazunk, az ötödik a kommával módosított értékeket, a hatodik pedig ezen utóbbi közös oktávba transzponált változatait vagyis a C1-hez viszonyított hangközértékeket.

Hang neveiC = i * Ckvintkommakabsk = kabs mod 1200C100,0000,0000,000G1701,955701,955701,955D21403,9101403,910203,910A32105,8652105,865905,865E42807,8202807,820407,820H53509,7753509,7751109,775Fisz64211,7304211,730611,730Cisz74913,6854913,685113,685Gisz85615,6405615,640815,640Esz96317,595-23,4606294,135294,135B107019,550-23,4606996,090996,090F117721,505-23,4607698,045498,045C2128423,460-23,4608400,0000,000

Ezáltal a püthagoraszi kommát a gyakorlatban ritkán használt Gisz-Esz kvintben rejtettük el, így a C körüli hangnemek tisztán szólnak.

Hangközök

A fenti k értékeket sorba rendezve kapjuk meg az adott hangolás alaphangra emelt hangközeit. Az alábbi táblázatban az első oszlop a hangok míg a második a hangközök neveit adja meg, a harmadik tartalmazza hangközértékeket, a negyedikből pedig az előző hangtól való eltérést olvashatjuk le.

Hang neveHangköz nevekΔkCPrím0,000-CiszKisszekund113,685113,685DNagyszekund203,91090,225EszKisterc294,13590,225ENagyterc407,820113,685FKvart498,04590,225FiszTritonus611,730113,685GKvint701,95590,225GiszKisszext815,640113,685ANagyszext905,86590,225BKisszeptim996,09090,225HNagyszeptim1109,775113,685

Mint kitűnik, a kétféle kisszekund (90,225 illetve 113,685) építi fel a hangsort, más félhangtípus nem fordul elő.

A következő táblázat az összes előforduló hangközt tünteti fel, kiemelten a nagyobb (a fentiekben k1 típusú) és normál módon a kisebb (k2) hangközöket.

-CCiszDEszEFFiszGGiszABHC0,000113,685203,910294,135407,820498,045611,730701,955815,640905,865996,0901109,775Cisz1086,3150,00090,225180,450294,135384,360498,045588,270701,955792,180882,405996,090D996,0901109,7750,00090,225203,910294,135407,820498,045611,730701,955792,180905,865Esz905,8651019,5501109,7750,000113,685203,910317,595407,820521,505611,730701,955815,640E792,180905,865996,0901086,3150,00090,225203,910294,135407,820498,045588,270701,955F701,955815,640905,865996,0901109,7750,000113,685203,910317,595407,820498,045611,730Fisz588,270701,955792,180882,405996,0901086,3150,00090,225203,910294,135384,360498,045G498,045611,730701,955792,180905,865996,0901109,7750,000113,685203,910294,135407,820Gisz384,360498,045588,270678,495792,180882,405996,0901086,3150,00090,225180,450294,135A294,135407,820498,045588,270701,955792,180905,865996,0901109,7750,00090,225203,910B203,910317,595407,820498,045611,730701,955815,640905,8651019,5501109,7750,000113,685H90,225203,910294,135384,360498,045588,270701,955792,180905,865996,0901086,3150,000

Értelemszerűen a bal fentről jobb alulra tartó átlók tartalmazzák az azonos típusú hangközöket. Leolvasható például az ábráról, hogy ebben a hangolásban egy darab 521,505 centértékű kvart található (nyilván az Esz-Gisz, a Gisz-Esz kvint fordítottja), a többi mind 498,045 értékű. A számokat viszonyíthatjuk a tiszta hangolású értékekhez is, ekkor kapjuk az alábbi táblát (t – k1 ill. t – k2 különbségekkel):

-CCiszDEszEFFiszGGiszABHC0,000-1,9540,00021,506-21,5060,000-21,5060,000-1,954-21,5060,000-21,506Cisz1,9540,000-21,50623,46021,5061,9540,0001,9540,00021,5061,9540,000D0,000-21,5060,000-21,5060,00021,506-21,5060,000-21,5060,00021,506-21,506Esz-21,506-23,460-21,5060,000-1,9540,000-1,954-21,506-23,460-21,5060,000-1,954E21,506-21,5060,0001,9540,000-21,5060,00021,506-21,5060,0001,9540,000F0,000-1,954-21,5060,000-21,5060,000-1,9540,000-1,954-21,5060,000-21,506Fisz1,9540,00021,5061,9540,0001,9540,000-21,5060,00021,5061,9540,000G0,000-21,5060,00021,506-21,5060,000-21,5060,000-1,9540,00021,506-21,506Gisz1,9540,0001,95423,46021,5061,9540,0001,9540,000-21,50623,46021,506A21,506-21,5060,0001,9540,00021,506-21,5060,000-21,5060,000-21,5060,000B0,000-1,954-21,5060,000-21,5060,000-1,954-21,506-23,460-21,5060,000-1,954H-21,5060,00021,5061,9540,0001,9540,00021,506-21,5060,0001,9540,000

Mint leolvasható, a kisterc 3 helyen (Esz-Fisz, F-Gisz, B-Cisz), a nagyterc pedig 4 helyen (Cisz-F, Fisz-B, Gisz-C, H-Esz) majdnem teljesen tiszta (a különbség abszolútértékben 1,954 cent), a többi esetben azonban ennél jóval többel, a szintonikus komma 21,506 centértékével tér el a tiszta hangolás által megkövetelttől.

Skálák

A 12-fokú hangsor minden fokára építhetünk skálát, amelyik a hangolási rendszer függvényében más lesz, mint az eredeti, az alaphangra emelt skála. A püthagoraszi hangolás esetében minél távolabb kerülünk az alaphangtól, annál hamisabb lesz a kapott hangsorunk, vagyis itt a tiszta hangolás egy változatával van dolgunk.

A Gisz-Esz kvintet szűkítő hangolás esetén az alábbi táblázat szerint alakulnak a skálaviszonyok. Az egyes oszlopok azt mutatják, milyen centviszonyban vannak a hangok a kijelölt alaphanghoz képest; például az Esz skálában a kvint a B, az Esz-B hangköz pedig 701,955 értékű kvint (a tábla valójában a hangközöket mutató fentebbi "elforgatása" 45°-kal).

-CCiszDEszEFFiszGGiszABH00,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0001113,68590,22590,225113,68590,225113,68590,225113,68590,22590,225113,68590,2252203,910180,450203,910203,910203,910203,910203,910203,910180,450203,910203,910203,9103294,135294,135294,135317,595294,135317,595294,135294,135294,135294,135317,595294,1354407,820384,360407,820407,820407,820407,820384,360407,820384,360407,820407,820384,3605498,045498,045498,045521,505498,045498,045498,045498,045498,045498,045498,045498,0456611,730588,270611,730611,730588,270611,730588,270611,730588,270588,270611,730588,2707701,955701,955701,955701,955701,955701,955701,955701,955678,495701,955701,955701,9558815,640792,180792,180815,640792,180815,640792,180792,180792,180792,180815,640792,1809905,865882,405905,865905,865905,865905,865882,405905,865882,405905,865905,865905,86510996,090996,090996,0901019,550996,090996,090996,090996,090996,090996,0901019,550996,090111109,7751086,3151109,7751109,7751086,3151109,7751086,3151109,7751086,3151109,7751109,7751086,315

Ha az alaphangra emelt skálához viszonyítunk, vagyis azt nézzük, mennyire tér el az adott sor az eredetitől, a következő táblát kapjuk:

-CCiszDEszEFFiszGGiszABHPrím0,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,00Kisszekund0,00-23,46-23,460,00-23,460,00-23,460,00-23,46-23,460,00-23,46Nagyszekund0,00-23,460,000,000,000,000,000,00-23,460,000,000,00Kisterc0,000,000,0023,460,0023,460,000,000,000,0023,460,00Nagyterc0,00-23,460,000,000,000,00-23,460,00-23,460,000,00-23,46Kvart0,000,000,0023,460,000,000,000,000,000,000,000,00Tritonus0,00-23,460,000,00-23,460,00-23,460,00-23,46-23,460,00-23,46Kvint0,000,000,000,000,000,000,000,00-23,460,000,000,00Kisszext0,00-23,46-23,460,00-23,460,00-23,46-23,46-23,46-23,460,00-23,46Nagyszext0,00-23,460,000,000,000,00-23,460,00-23,460,000,000,00Kisszeptim0,000,000,0023,460,000,000,000,000,000,0023,460,00Nagyszeptim0,00-23,460,000,00-23,460,00-23,460,00-23,460,000,00-23,46