Egy dinamikai rendszer Lagrange-függvénye (L) olyan függvény, amely összegzi a rendszer dinamikáját. Joseph Louis Lagrange után kapta a nevét. A függvény bevezetése William Rowan Hamilton ír matematikus nevéhez fűződik. A klasszikus mechanikában a Lagrange-függvény úgy van meghatározva, mint a rendszer teljes mozgási energiájának és a rendszer teljes potenciális energiájának a különbsége.
Matematikailag:
Ha ismerjük egy rendszer Lagrange-függvényét, akkor a mozgásegyenletek megkaphatók, ha behelyettesítjük a Lagrange-függvényt az Euler–Lagrange-egyenletbe.
A Lagrange-formalizmus Fontosság
A Lagrange-formalizmus nemcsak a széles alkalmazhatósága miatt fontos, hanem azért is, mert általa jobban megismerhetjük a fizikát. Annak ellenére, hogy a Lagrange-függvény csak a klasszikus mechanikát hivatott leírni, a legkisebb hatás elvével, amit arra használunk, hogy felírjuk a Lagrange-egyenletet, alkalmazhatóvá vált a kvantummechanikában is.
Más módszerekkel szembeni előnyök
Ebben a formalizmusban nem vagyunk egyik koordináta-rendszerhez sem láncolva, hanem bármelyik nekünk előnyös változót használhatjuk a rendszer leírására, amelyeket általános koordinátáknak nevezzük, s ezek a rendszernek bármilyen független változói lehetnek. Például a mágneses tér erőssége egy pontban, egy pont helyzete a térben, stb.
Ha a Lagrange-függvény invariáns bizonyos szimmetriára, akkor a keletkező mozgásegyenletek is invariánsak lesznek az illető szimmetriára.
A Lagrange-függvényből származtatott egyenletek egyértelműek és nem önellentmondóak.
"Ciklikus koordináták" és megmaradási tételek
Az egyik fontos tulajdonsága a Lagrange-függvénynek az, hogy a megmaradási tételek könnyen kiolvashatók belőle. Például ha a Lagrange-függvény csak az egyik általános koordináta idő szerinti deriválttól függ de nem függ magától az általános koordinátától, akkor az általánosított impulzus, , egy megmaradó mennyiség. Ez egy speciális esete a Noether-tételnek, s az ilyen koordinátákat ciklikusaknak nevezzük.
Például az alábbi általánosított impulzus, , megmaradása azonnal belátható, ha a rendszer Lagrange-függvénye a következő alakú: .
Amennyiben a Lagrange-függvény nem függ expliciten az időtől, akkor a rendszer energiája lesz egy megmaradó mennyiség.
Euler–Lagrange-egyenlet
A mechanikai rendszerek mozgásegyenleteit legáltalánosabban a legkisebb hatás elvével adhatjuk meg. Vagyis, ha egy adott mechanikai rendszert egy adott
függvény jellemez, a rövidség kedvéért jelöljük csak -nek, s a rendszer helyzetét a és időpillanatokban a és koordináták jellemzik, akkor a két helyzet között úgy fog mozogni a rendszer, hogy az
minimális legyen, ahol az integrált hatásfüggvénynek nevezzük.
Legyen az a függvény, amelyre a hatásfüggvény (a fenti integrál) minimális. Ekkor ha függvényt helyettesítjük bármely függvénnyel, ahol a egy tetszőleges függvény, amely és között kis értékeket vesz fel (matematikailag a variációjának nevezzük), az az növekedéséhez vezet. Minden függvénynek a és időpillanatokban ugyanazt a és értéket kell felvennie, s ez csak akkor lehetséges, ha
Ha a hatásfüggvényben a -t helyettesítjük -val, akkor az változását a
különbség fogja megadni. Ha ezt sorbafejtjük és csak az elsőrendű tagokat vesszük figyelembe (ezt az integrál első variációjának nevezzük), akkor az extrémumának szükséges feltétele az, hogy ezeknek a tagoknak az összege 0 legyen, s akkor a legkisebb hatás elvét a következő alakban írhatjuk fel:
Ha végrehajtjuk a variációt, akkor a következő alakhoz jutunk:
Behelyettesítve, hogy , valamint a második tagot parciálisan integrálva, és figyelembe véve, hogy , a következő kifejezést kapjuk:
,
ami csak akkor lehetséges, ha az integrandus nulla, tetszőleges értékek mellett, s ez csak akkor lehetséges, ha
.
A fenti egyenletet nevezzük az Euler–Lagrange-egyenletnek, s ha ismerjük egy adott rendszer Lagrange-függvényét, akkor behelyettesítve a fenti egyenletbe, s elvégezve a deriválásokat megkapjuk az adott rendszer mozgásegyenleteit.
Példa klasszikus mechanikából Derékszögű koordináta-rendszerben
Ha háromdimenziós térben vagyunk, akkor egy anyagi pont Lagrange-függvénye a következő:
.
Az Euler–Lagrange-egyenlet a következő alakú lesz:
ahol .
A deriválások elvégzése után a következőket kapjuk:
Polárkoordináta-rendszerben Ha polárkoordináta-rendszeben dolgozunk, akkor az anyagi pont Lagrange-függvénye a következő lesz:
S az Euler–Lagrange-egyenletek az alábbiak lesznek:
Jegyzetek
További információk L. D. Landau - E. M. Lifsic: Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1984 Christoph Schiller (2005), Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)
Kategória:Fizikai alapfogalmak Kategória:Térelmélet