250px|bélyegkép|jobbra|Az egyenlet helyes megoldásához a mérleget végig egyensúlyban kell tartanunk (a kép 1904-ből származik).
A mérlegelv az elsőfokú (lineáris), egyismeretlenesA magasabb fokú, nemlineáris egyenletek megoldására más módszerek alkalmazandóak, ld. például a másodfokú egyenletek megoldóképletét egyenletek megoldási módja. A módszer indirekt bizonyítási eljárás.dr. Majoros Mária: Gondolatok az egyenletek tanításáról I. – Az "Oktassunk vagy buktassunk" továbbképzés 2007. októberi előadása | Fazekas Mihály Gyakorlóiskola Célja az változó ismeretlen érték(ei)nek megtalálása. Az egyenletet az egyenlőségjel osztja ketté. Az elv lényege, hogy az egyenlet mindkét oldalát úgy változtatjuk meg, hogy az egyenlőség igaz maradjon, mint ahogy a kétkarú mérleg serpenyőjében a súlyokat is úgy választjuk ki, hogy a mérleg egyensúlyban maradjon.
Története
A magyarországi általános iskolákban csak 1977-től terjedt el általánosan a lineáris egyenletek megoldásának mérlegelvvel történő magyarázása, Varga Tamás matematika-tanítási koncepciójának köszönhetően. A módszer megértését nehezíti, hogy feltételezi: az egyenletnek van megoldása.
Mérlegelv a gyakorlatban
A mérleg egyensúlyban úgy valósítjuk meg, hogy az egyenlet – egyenlőségjellel elválasztott – mindkét oldalával ugyanazt a műveletet végezzük el (ekvivalens átalakítás). Az elvégzendő műveletet szokás az egyenlet jobb oldalán, attól "/" jellel elválasztva megadni. Ezzel jelezzük, hogy ugyanazon műveletet mindkét oldalon el kell végezni, különben a mérlegelv sérül, az új sorba felírt "egyenlőség" nem lesz igaz és helytelen végeredményt fogunk kapni.
Ekvivalens átalakítások az alábbiak lehetnek:
ugyanazt a számot (kifejezést) adjuk ill. kivonjuk mindkét oldalból ugyanazzal a számmal (kifejezéssel) (szám illetve kifejezés nem lehet nulla) megszorozzuk mindkét oldalt ugyanazzal a számmal (kifejezéssel) (szám illetve kifejezés nem lehet nulla) osztjuk mindkét oldalt.
Ezen kívül mindkét oldalt hatványozhatjuk, vonhatunk belőle négyzetgyököt, köbgyököt stb. Lényeges, hogy az ilyen változtatás kölcsönösen egyértelmű (injektív), azaz "visszacsinálható" legyen. Ha ez a változás nem egyértelmű – például négyzetre emelés esetében –, akkor külön ki kell vizsgálni, nem kapunk-e hamis megoldást (gyököt) is, illetve nem vész-e el ebben a műveletben megoldás.
Egyismeretlenes lineáris egyenlet Az egy ismeretlent tartalmazó elsőfokú egyenletből a mérlegelv alkalmazásával megkapható az ismeretlen értéke.
Egy egyenlet megoldása mérlegelvvel:
Az egyenlet megoldásának ellenőrzéséhez a kapott eredményt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer Ld. még Lineáris egyenletrendszer ekvivalens átalakításai (Wikibooks)
Jegyzetek
További információk dr. Majoros Mária: Gondolatok az egyenletek tanításáról I. – Az "Oktassunk vagy buktassunk" továbbképzés 2007. októberi előadása | Fazekas Mihály Gyakorlóiskola
Mérlegelv a Sulinet oldalán Magyarázat ábrákkal
Idegen nyelven A mérlegelv alkalmazásának gyakorlása I. | zum.de A mérlegelv alkalmazásának gyakorlása II. | zum.de Algebra Balance Scales | (Java futtatókörnyezet telepítése szükséges!) Algebra Balance Scales - Negatives | (Java futtatókörnyezet telepítése szükséges!) Balance when Adding and Subtracting – Egyenletmegoldás lépéseinek követése animáció segítségével
Kategória:Matematikai elvek