A Bézout-lemma Étienne Bézout (1730–1783) nyomán a számelméletben azt állítja, hogy két egész szám, a és b legnagyobb közös osztója előáll a és b egész együtthatós lineáris kombinációjaként:
, ahol , tehát egyik vagy mindkettő negatív is lehet.
Sajátosan, ha a a két szám relatív prím, akkor .
Az s és t együtthatók a kibővített euklideszi algoritmussal hatékonyan számolhatók.
Az összefüggés minden főideálgyűrűben érvényes, még a nem kommutatívokban is.
Története A lemmát Étienne Bézout (1730–1783) francia matematikus után nevezték el, aki polinomokra bizonyította.Bézout, Théorie générale des équations algébriques (Paris, France: Ph.D. Pierres, 1779). Azonban az egészekre vonatkozó bizonyítást már Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581–1638) ismerte. On these pages, Bachet proves (without equations) “Proposition XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre.” (Given two numbers [which are] relatively prime, find the lowest multiple of each of them [such that] one multiple exceeds the other by unity (1).) This problem (namely, ax - by = 1) is a special case of Bézout’s equation and was used by Bachet to solve the problems appearing on pages 199 ff.Lásd még:
Nem egyértelmű A legnagyobb közös osztónak ez az előállítása nem egyértelmű, sőt, végtelen sok megoldás van. Adott (x, y) együtthatók esetén a többi megoldás így számolható:
Példa
Legyen a = 12 és b = 42, lnko(12, 42) = 6. Ekkor
Következményei A Bézout-lemmának számos következménye van a matematikában, különösen a számelméletben, ahol elemi jelentőséggel bír. Levezethető belőle az Euklidesz-lemma, amiből bizonyítható a prímtényezős felbontás egyértelműsége.
Bizonyítása A bizonyítás a maradékos osztás műveletén alapul, így minden euklideszi gyűrűre könnyen átvihető. Az s és a t együtthatók pozitívok és negatívok is lehetnek, így előállnak pozitív és negatív számok is alakban, ahol . Legyen ezek között a legkisebb abszolút értékű. Mivel osztója a-nak és b-nek is, így minden, az előző módon előálló számnak is osztója, tehát d-nek is. A maradékos osztás miatt , valamely egész q-ra és -re. Visszahelyettesítve az egyenletbe, és r-re megoldva kapjuk, hogy . A d szám minimalitása miatt , ezért d osztója a-nak. Hasonlóan, d osztója b-nek is, emiatt . De már láttuk, hogy d osztható -val. Tehát .
Főideálgyűrűkben A gyűrűelmélet ideáljait használva van egy főideál, amely tartalmazza az és az ideálokat. Az ideálok szintén gyűrűk, ezért is része ennek az ideálnak. Speciálisan, ha , vagy a gyűrű euklideszi, akkor , ahol , mivel a főideálgyűrűkben minden ideál egy elemmel generálható. Ez az egyenlőség azt fejezi ki, hogy a c elem a és b lineáris kombinációként előáll, de közös osztójuk is, hiszen az általa generált ideál mindkettőt tartalmazza. Tehát főideálgyűrűkben a Bézout-lemma közvetlenül a definícióból adódik.
Több egészre A lemma több egészre is általánosítható:
ekkor vannak egészek úgy, hogy
Sőt, d a legkisebb így felírható pozitív egész, és az összes ilyen alakú szám osztható d-vel. Az együtthatók előjelére nincs megkötés, lehetnek pozitívak, negatívak, vagy akár nullák is.
További információk Alice és Bob - 20. rész: Alice, Bob, Euler és Fermat Alice és Bob - 21. rész: Alice és Bob titkosít
Források
Kurt Meyberg: Algebra - Teil 1. Hanser 1980, , S. 43 Stephen Fletcher Hewson: A Mathematical Bridge: An Intuitive Journey in Higher Mathematics. World Scientific 2003, , S. 53ff
Kategória:Számelméleti tételek