A matematikában racionális számnak (hányados- vagy vegyes-törtszámnak) nevezzük két tetszőleges egész szám hányadosát, amelyet többnyire az a/b alakban írunk fel, ahol b nem nulla.
A racionális számok halmazát tipográfiailag kiemelt Q (vagy ) betűvel jelöljük (a latin quotiens [kvóciens] (hányszor?), illetve az angol quotient (hányados) szóból).
Halmazdefinícióként felírva
.
Azokat a valós számokat, amelyek nem racionálisak, irracionális számoknak nevezzük.
Felírásuk Egy racionális számot hányadosként végtelen sok alakban írhatunk fel, például . A legegyszerűbb, azaz tovább nem egyszerűsíthető alak akkor áll elő, amikor a és b relatív prím. Minden racionális számnak pontosan egy olyan tovább nem egyszerűsíthető alakja van, ahol a nevező pozitív (irreducibilis tört).
A racionális számok tizedestört alakja véges vagy végtelen szakaszos (tehát a felírásban egy ponton túl a számsorozat periodikusan ismétlődik). Ez az állítás nem csak a tízes, hanem tetszőleges, egynél nagyobb, egész alapú számrendszerben való felírásra igaz. A tétel fordítottja is igaz: ha egy szám felírható véges vagy végtelen szakaszos tizedestört alakban, akkor az racionális szám.
Törtek, törtszámok és racionális számok
A racionális szám a hétköznapi szóhasználatban, illetve az elemi matematika területén használt tört vagy törtszám fogalmának egy precízebb változata. Egy számot racionálisnak nevezünk, ha felírható a/b tört alakban, ahol a és b is egész számok. A gyakorlatban a „racionális szám” kifejezés általában helyettesíthető a „tört(szám)” fogalmával. Elméletben, köszönhetően a matematika általánosságra és precízségre törekvésének, ugyanakkor a két fogalom nem ugyanaz.
Egyrészt a „tört” jóval általánosabb fogalom, a számok felírásának formáját és nem feltétlenül az értéküket írja le. Törteket lehet pl. kifejezésekből vagy függvényekből (vagy akár irracionális számokból) is készíteni. Ezért „tört” helyett rögtön szükségessé válik a pontosabb „törtszám” kifejezés. A tankönyvek általában úgy definiálják ezeket, mint olyan a/b alakú törteket, ahol a és b egészek, és a nem osztható maradék nélkül b-vel (ezek tehát olyan racionális számok, melyek nem egészek).
További gond, hogy az egész számok is felírhatóak törtek alakjában, ráadásul végtelen sokféle módon (pl. 2 = 2/1 = 4/2 = 6/3 = ... ), tehát algebrai, formális értelemben az egész számok is tekinthetőek „törteknek” vagy „törtszámoknak” (habár nem tekintjük őket annak). Másrészt (és a például adott egyenlőségeket a másik oldaláról nézve), a törtek értéke is lehet egész szám. Tehát a „tört” fogalom nem eléggé precíz, többféleképp is félreérthető, amennyiben olyankor kell használni, amikor a cél a számok nem egész voltának kihangsúlyozása. Ezért szükséges a pontosabb „törtszám” kifejezés használata. Ez utóbbi előnye, hogy a hétköznapi szóhasználatban is meglévő és az egész számok kiterjesztésében logikusan fellépő kifejezés, a szigorúbb vizsgálat azonban megmutatja, hogy bár a félreértések egy részének kiküszöbölésére alkalmas, még mindig többféleképp félreérthető.
A matematika több ágában – így pl. a diofantikus approximációk elméletében – ugyanakkor sok esetben kényelmesebb az egészekről és a törtszámokról egy kifejezéssel beszélni, őket egy kategóriába sorolni (az egészek és a törtszámok között sokkal kisebb az elméleti törés, sokkal több a hasonlóság, mint a törtek és az irracionális számok között). Így szükség van egy olyan kifejezésre, ami alá az egészek és a törtszámok is tartoznak, viszont kifejezések, függvények stb. nem. Így jutunk (pontosabban ezért juthatunk) el a „racionális szám” fogalmához.
Történetük Egyiptomi törtek Minden pozitív racionális szám felírható véges sok különböző pozitív egész reciprokának összegeként. Például:
Sőt, minden pozitív racionális számnak végtelen sok ilyen formájú, különböző felírása lehetséges. Ezt az alakot egyiptomi törtnek is nevezzük, mivel már az ókori Egyiptomban is használták, akik egyébként a diadikus törteket is a maitól eltérő alakban írták le.
Formális definíció A racionális számok precízen egész számok rendezett párjaként definiálhatók: ahol b nem nulla. Az összeadást és szorzást ezeken a párokon a következőképp definiáljuk:
Annak érdekében, hogy teljesüljön az elvárt tulajdonság, definiálni kell egy ekvivalenciarelációt is () a következőképpen:
Ez az ekvivalenciareláció kompatibilis a fent definiált összeadással és szorzással. Legyen ezután Q az ekvivalenciaosztályok halmaza, más szóval azonosnak tekintjük az (a, b) és a (c, d) párt, ha ekvivalensek. (Ez a konstrukció elvégezhető minden integritástartomány esetében, lásd hányadostest.)
Az így kapott számok halmazán a teljes rendezés is definiálható:
A racionális számok halmaza tartalmaz az egész számokkal ekvivalens halmazt: a egész számhoz rendelhető. Ezt úgy szokták kifejezni, hogy az egész számok is racionálisak.
Tulajdonságaik A racionális számok halmaza () az összeadás és a szorzás műveletével testet alkot. Ez a test az egész számok () hányadosteste. A legszűkebb test, ami tartalmazza a természetes számokat, mivel a legszűkebb gyűrű, ami tartalmazza a természetes számokat.
A racionális számok halmaza a legszűkebb 0 karakterisztikájú test. Minden egyéb 0 karakterisztikájú test tartalmazza a racionális számok testének egy izomorf képét. A valós számok prímteste is, és mint prímtest, merev, azaz automorfizmuscsoportja egyelemű.
A racionális számok algebrai lezártja (azaz a racionális együtthatós polinomok gyökeit is tartalmazó legszűkebb test) az algebrai számok halmaza.
A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen, vagyis sorozatba rendezhető. Ez azt jelenti, hogy és egy-egyértelműen megfeleltethető egymásnak, azaz minden racionális számhoz rendelhető egy természetes szám, és megfordítva. Ilyen sorozatokat lehet alkotni Cantor első átlós érvével vagy a Stern–Brocot-fával. Mivel a valós számok számossága ennél nagyobb, így mondhatjuk, hogy a valós számok túlnyomó többsége irracionális.
A sűrűség ellenére nincs olyan valós-valós függvény, ami csak a racionális számokon folytonos. Ezzel szemben van olyan, ami az irracionális számokon folytonos, de a racionálisokon nem.
A racionális számok halmazának Lebesgue-mértéke nulla.
A racionális számok sűrűn rendezett halmazt alkotnak: bármely két különböző racionális szám között van egy harmadik, (és így végtelen sok). Jelölje a két adott számot és ! Ekkor a számtani közepük is racionális: . A sűrűség azt is jelenti, hogy bármely racionális szám tetszőlegesen pontosan közelíthető racionális számokkal. A rendezett halmazok között pontosan a racionális számok halmaza (meg a vele izomorfak) azok, amelyek megszámlálhatóak, sűrűn rendezettek és nincs legkisebb vagy legnagyobb elemük (Georg Cantor tétele).
Egy valós szám racionális, ha algebrailag elsőfokú. Ezzel a racionális számok az algebrai számok testének részhalmaza.
Aritmetika
Két racionális szám, és akkor és csak akkor egyenlők, ha
A racionális számoknak létezik additív és a nullától különbözőknek multiplikatív inverze:
A tovább nem egyszerűsíthető alak:
ahol , az egész számok legnagyobb közös osztója, ami kiszámítható például euklideszi algoritmussal. Ha egész szám, akkor tovább nem egyszerűsíthető tört alakja
Rendezés A racionális számok rendezése megadható úgy, mint:
ahol az egész számok szokásos rendezése, a szignumfüggvény és az abszolútérték. A bővítés és az egyszerűsítés nincs hatással az összehasonlításra. Ez a rendezés az egész számok rendezésének kiterjesztése, ugyanis .
Ha két pár ekvivalens, akkor sem sem nem teljesül. A rendezés egyik alaptulajdonsága a trikhotómia:
Ezzel teljesen rendezett halmaz.
Ezen a rendezésen alapul a racionális számok definíciója Dedekind-szeletekkel.
Osztó algoritmusok A racionális számok tört alakja egy el nem végzett osztás formájában ábrázolja a számot. A tiszta matematika számára általában elég is ez az ábrázolás, legfeljebb tovább nem egyszerűsíthető alakra hozásra van igény. Ha azonban több számmal kell összeadást, kivonást vagy összehasonlítást végezni, akkor érdemes a számokat közös nevezőre hozni. Ezekhez a műveletekhez lehet a számokat vegyes tört alakban ábrázolni, és csak a törtrészt közös nevezőre hozni. A vegyes tört alakra hozás a maradékos osztás elvégzésének felel meg.
Az osztást akkor tekintik elvégzettnek, ha egy helyi értékes számrendszerben meghatározták a szám (egy alakjának) összes számjegyét. Ehhez az osztást elég egy periódusig vinni, hiszen a racionális számok végtelen szakaszos tizedestörtek. Ehhez az algoritmusok három csoportját alkották meg: Írásbeli algoritmusok Számítógépes algoritmusok: Rögzített hosszúságú számokra Tetszőleges hosszúságú számokra.
Az utóbbira példák: SRT-osztás Goldschmidt-osztás Newton–Raphson-osztás Az utóbbi két algoritmus a nevező reciprokát veszi, amit megszoroz a számlálóval. Ezeket az eljárásokat rögzített hosszúságú számokra is használják. Például az SRT-osztást használták az Intel Pentium processzoraihoz, de hiba csúszott a megvalósításba.
Tizedestört alak
A valós számoknak van tizedestört alakjuk. A racionális számok ezek közül a szakaszos tizedestörtek. Az irracionális számok tizedestört alakja nem periodikus.
A véges tizedestörtek pontosan azok, ahol a tovább nem egyszerűsíthető tört vagy áltört alak nevezője osztója az alap valamelyik hatványának. Ekvivalensen, a nevező prímtényezői az alap prímtényezői közül kerülnek ki. A véges tizedestörtek is szakaszos tizedestörtek; a véges rész az előszakasz, a periódus nulla számjegyből áll. A tizedestört alak nem mindig egyértelmű; a véges tizedestörtként írható racionális számoknak van egy másik tizedestört alakjuk is, ami megkapható a véges tizedestört alak utolsó számjegyét eggyel csökkentve, utána a szakaszt csupa kilencessel kitöltve. Lásd: 0,999…
Hasonlósak érvényesek más, egész alapú számrendszerben, ahol a kilencesek szerepét az alapnál eggyel kisebb számjegy veszi át. A periódust vagy felülvonással, vagy két ponttal jelzik.
Példák:
Az Euler–Fermat-tétel szerint, ha a nevező , és hozzá az alap relatív prím, akkor
ahol az Euler-féle phi-függvény. Az szakaszának hossza megegyezik az renddel, ahol maradékosztály a modulo maradékosztálygyűrűjének prím maradékosztályában. Lagrange tétele szerint osztója a csoport rendjének. Az
pozitív egész , és alapú bázisba fejtve kapott jegyei a -adikus ábrázolásban ugyanezek a jegyek köszönnek vissza:
Például a fenti táblázatban az 1/3 periódushossza a tízes alapú bázisban , és jegyeinek sorozata . Kettes alapú számrendszerben a szakasz hossza , és a jegyek sorozata .
Egy adott nevező esetén a szakasz hossza pontosan akkor , ha primitív gyök modulo . Primitív gyök akkor van, ha az prím maradékosztálycsoport ciklikus, azaz ha Különben a periódus hossza valódi osztója.
Az alábbi táblázat és esetét mutatva azt a benyomást kelti, hogy a maximális szakaszhossz gyakori. Például a prímszámok reciprokainak szakaszhossza . A összetett számok esetén a maximális hossz . A hosszú periódusok ki vannak emelve. A legrosszabb eset , míg átlagos esetben az szám hossza a alapú számrendszerben . A 802787 prímszám reciprokának periódushossza kettes számrendszerben 802786, tízes számrendszerben 401393. Ez túl sok ahhoz, hogy a táblázatban szerepeljen.
3579111213151719212325272931333537802787 24661041281618122220182830202436802786 243610–1248186112018285101236802786 2 3 3 4 4 – 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 20 –46–5–3–1618–1120–2830–1218401393 –2 2 –3 –3 –3 3 –3 3 –4 4 –4 4 13 2–66524–169622–1814310–36802786 1 –2 2 2 2 2 –2 2 2 2 –3 3 3 3 –3 9 1–612–6–1618622–328152–3401393 1 –1 1 2 – 2 –2 2 2 2 –2 2 2 2 –2 6
Kapcsolatuk a valós számokkal
A racionális számok a valós számok halmazának sűrű részhalmazát alkotják, azaz minden valós számhoz tetszőlegesen közel vannak racionális számok.
Ugyancsak igaz, hogy a racionális számok pontosan a véges lánctört formájában írható valós számok.