A számelmélet területén a primoriális (angolul: primorial) olyan természetes számokon értelmezett függvény, ami nagyon hasonlít a faktoriálishoz, de ahelyett, hogy a pozitív egész számokat szorozná össze sorban (egy adott korlátig), csak egymásutáni prímszámokon fut végig.
A primoriálisnak két inkonzisztens (azaz egymással összeférhetelen) definíciója létezik:
az első a függvény argumentumát a prímszámok sorozatának indexeként értelmezi (így a függvény szigorúan monoton növekvő); a második az argumentumot az összeszorzandó prímszámok felső határaként értelmezi (így a függvény monoton növekvő).
Általában ez utóbbit szokták használni.
A Harvey Dubnernek tulajdonított primoriális elnevezés a prímszámokra utal, hasonlóan ahhoz, ahogy a faktoriális a faktorokra.
Definíció prímszámokra Ha az n-edik prímszámot pn-nel jelöljük, akkor a pn# primoriálist az első n prímszám szorzataként határozzuk meg:
Például p5# az első 5 prímszám szorzatának felel meg:
.
Az első hat pn# primoriális:
1, 2, 6, 30, 210, 2310 .
A sorozat tartalmazza üres szorzatként a p0# = 1 értéket is.
Aszimptotikusan a pn# primoriálisok a
képlet szerint nőnek,
ahol a kis ordó jelölés.
Definíció természetes számokra Általánosságban, pozitív n egészekre is definiálható az n# primoriális, méghozzá az n-nél nem nagyobb prímek produktumaként:
ahol a prímszámláló függvény , ami az n-nél nem nagyobb prímek számát adja meg.
Ez a formula ekvivalens a következő rekurzív definícióval:
Például a 12# a 12-nél nem nagyobb prímszámok szorzatát jelképezi:
Mivel , ez a következőképp is számítható:
Tekintsük az első 12 természetes szám primoriálisát:
1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.
Látható, hogy összetett n-ekre az n# megegyezik az őt megelőző (n − 1)# értékével. A fenti példában 12# = p5# = 11#, mivel 12 összetett szám.
Az első Csebisev-függvény éppen az n# természetes alapú logaritmusát határozza meg:
Ugyanakkor nagy n értékekre a lineáris n függvényt közelíti. Tehát:
Az elgondolás, hogy minden ismert prímszámot egymással össze kell szorozni, felmerül a prímszámok végtelenségére vonatkozó több bizonyításban is, ahol ennek segítségével látják be egy másik prímszám szükségképpeni létezését.
Alkalmazásai és tulajdonságai A primoriálisok fontos szerepet töltenek be az egymástól ugyanakkora távolságra lévő prímszámok keresésében. Például a 2236133941 + k×23# kifejezés a k = 0, 1, ..., 13 értékekre egy csupa prímszámból álló 14 tagú számtani sorozatot határoz meg (mely 5136341251-gyel végződik). A 15 és 16 tagú számtani prímsorozatok között is gyakran 23# a differencia.
Minden erősen összetett szám primoriálisok szorzataként áll elő (pl. 360 = 2·6·30).Sloane's A002182: Highly composite numbers Minden primoriális ritkán tóciens szám. Minden primoriális praktikus szám.
A primoriálisok négyzetmentesek és mindegyikük több egyedi prímtényezővel rendelkezik a nála kisebb számoknál. Minden n primoriálisra a tört – ahol az Euler-függvény – kisebb, mint bármely nála kisebb egész esetében.
Bármely teljesen multiplikatív számelméleti függvényt (olyan függvényet, amelyre ) meghatároznak a primoriálisoknál felvett értékei, hiszen a prímeken felvett értékei meghatározzák a függvényt, ami pedig a szomszédos primoriálisok értékeinek elosztásával megkapható.
A primoriális alapú számrendszerek (nem összetévesztendőek a primoriális számrendszerekkel) jellemzője, hogy az ismétlődő szakaszos törtek ritkábban fordulnak elő, mint az alacsonyabb alapszámú számrendszerekben.
Megjelenése A Riemann-féle zéta-függvény 1-nél nagyobb pozitív egészekben vett értéke kifejezhető a primoriálisok és a Jordan-függvény segítségével:
Primoriálisok táblázata
n n# pn pn# 0 1 – 1 1 1 2 2 2 2 3 6 3 6 5 30 4 6 7 210 5 30 11 2310 6 30 13 30030 7 210 17 510510 8 210 19 9699690 9 210 23 223092870 10 210 29 6469693230 11 2310 31 200560490130 12 2310 37 7420738134810 13 30030 41 304250263527210 14 30030 43 13082761331670030 15 30030 47 614889782588491410 16 30030 53 32589158477190044730 17 510510 59 1922760350154212639070 18 510510 61 117288381359406970983270 19 9699690 67 7858321551080267055879090 20 9699690 71 557940830126698960967415390
Kapcsolódó szócikkek Bonse-egyenlőtlenség Primoriálisprím Faktoriális számrendszer
Fordítás
Jegyzetek
Kategória:Nevezetes számsorozatok Kategória:Prímszámok