bélyegkép|jobbra|200px|Egy lineáris kombináció. Szemléltetés paralelogrammaszabállyal bélyegkép|jobbra|200px| a és vektorok lineáris kombinációja. A zöld sík a két vektor lineáris burkát ábrázolja
A lineáris kombináció a lineáris algebra egyik legfontosabb fogalma. Segítségével definiálható a vektorok lineáris függetlensége, a vektorrendszerek, mátrixok rangja.
Definíció
Legyen és , ahol test, pedig egy feletti dimenziós vektortér. elemei vektorok, amik közösen egy elemű vektorrendszert alkotnak, elemei pedig skalárok.
Ekkor a vektort a vektorok ( skalárokkal képzett) lineáris kombinációjának nevezzük.
Tetszőleges számú vektor lineáris kombinációja Legyen test, és legyen vektortér fölött. Legyen továbbá vektorok akár végtelen halmaza. Ekkor a vektorok lineáris kombinációi azok a összegek, amikben véges kivétellel minden nulla. Tehát még akkor sem tekintünk végtelen sok elemet, ha a sor konvergens lenne.
Alkalmazások Az egyik alkalmazásban adva vannak a vektorok a hozzájuk tartozó vektorokkal, és ki akarjuk számítani a lineáris kombinációt. Példa: Adva legyenek a vektorok -ben, és az együtthatók. Ekkor a lineáris kombináció .
Egy másik alkalmazásban egy adott vektorról kell eldönteni, hogy előáll-e a megadott vektorok lineáris kombinációjaként. Az előállításhoz meg kell adni az együtthatókat, vagy bizonyítani, hogy nincsenek ilyen együtthatók. Ez egy lineáris egyenletrendszer megoldásával tehető meg.
Példa: Az vektortérben keressük, hogy előáll-e a vektor a és vektorok lineáris kombinációjaként. Elvégezzük a helyettesítést, és megoldjuk az így előálló lineáris egyenletrendszert -re és -re például Gauss-eliminációval. Megoldásként és adódik. Így előáll és lineáris kombinációjaként, mint .
Kapcsolódó fogalmak Mivel az elemeket bizonyos skalárokkal össze kell szorozni, majd a szorzatokat összeadni, ezért a lineáris kombináció vektortéren értelmezhető.
Tekintünk néhány vektort! Ekkor az összes lineáris kombinációjuk ismét vektorteret ad, az adott vektorok által generált vektorteret, más néven lineáris burkukat.
Ha kombinációik az egész vektorteret kiadják, akkor azok a vektorok a vektortér egy generátorrendszerét alkotják.
A nullvektor triviálisan kifejezhető lineáris kombinációként úgy, hogy minden együtthatót nullának választunk. Ha a nullvektor másként is előáll, akkor a lineáris kombinációban levő vektorok lineárisan összefüggők. Ha csak a triviális lineáris kombináció állítja elő a nullvektort, akkor a vektorrendszer lineárisan független.
Ha egy vektorrendszer független generátorrendszere a V vektortérnek, akkor bázisa a V vektortérnek. Egy vektortér összes bázisa ugyanannyi elemet tartalmaz; ez az elemszám a vektortér dimenziója.
Modulusokban A testek helyett gyűrűk fölött levő modulusokban a lineáris kombináció is általánosabb jelentést kap.
Az egész számok gyűrűjében mint önmaga fölötti modulusban is lehet lineáris kombinációt venni. Ekkor két egész szám lineáris kombinációjaként éppen a legnagyobb közös osztójuk többszörösei adódnak. Maga a legnagyobb közös osztó az euklideszi algoritmus alapján írható fel lineáris kombinációként, ahol az együtthatók negatívak is lehetnek:
Az egyértelműség nem teljesül, mivel a két szám legkisebb közös többszörösének felhasználásával egy egész sorozat előállítható.
Példák: a 3 és az 5: 1 = 2 · 5 – 3 · 3 a 10 és a 20: 10 = 1 · 10 + 0 · 20 a 9 és a 15: 3 = 2 · 9 – 1 · 15 a 9 és a 16: 1 = 4 · 16 – 7 · 9
Általában a lineáris algebrából ismert, egyszerű műveletek végrehajthatók modulusokban is, azonban nem mindig lehet megoldani egy lineáris egyenletrendszert a nem invertálható gyűrűelemek miatt.
Speciális esetek Ha -k egyike sem negatív, akkor kúpkombinációról van szó. Ha -k mindegyike pozitív, akkor pozitív kombinációról beszélünk. Ha a együtthatók összege 1, akkor az affin kombináció. Ez a fogalom modulusokra is kiterjeszthető. Ha a kombináció egyszerre kúp és affin kombináció (vagyis mindegyik együttható pozitív vagy nulla, és összegük 1), akkor konvex kombináció. Konvex kombinációk konvex kombinációja is konvex kombináció. Egy adott halmaz összes konvex kombinációjának halmaza a halmaz konvex burka.
Fordítás
Források Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, Gerd Fischer: Lineare Algebra. 18., aktualisierte Auflage. Springer, Wiesbaden 2014. .
Kategória:Lineáris algebra