A komplex analízisben és az algebrai topológiában a lánc és a ciklus matematikai objektumok; a lánc a görbe, a ciklus a zárt görbe általánosítása. A komplex analízisben főként integrációhoz használják.
Az algebrai topológiában a lánc és a ciklus a homológiaelmélet speciális esetei. Ezt kiemelendő használják az 1-lánc és az 1-ciklus elnevezéseket is,Otto Forster: Riemannsche Flächen, Springer 1977, englisch Lectures on Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991, , Kapitel 20 mivel itt további általánosításokat is tekintenek, így szó esik p-láncról és p-ciklusról.
Definíciók Lánc Egy -beli lánc, illetve egy Riemann-felületen levő lánc formálisan értelmezve görbék egész számokkal vett lineáris kombinációja:
ahol minden folytonos görbe. Az halmaz láncai Abel-csoportot alkotnak az összefűzésre, ez a csoport. Integrálás láncon Legyen zárt komplex (1,0)-differenciálforma, ekkor a láncon vett integrál nem más, mint
Ha éppen a komplex számsík, akkor az integrál a differenciálformák nélkül is értelmezhető. Ekkor ugyanis alakban írható, ahol differenciálható függvény. Ezzel a definíció az . alakot ölti. Ciklus A ciklus egy olyan lánc, amiben minden komplex szám multiplicitással ugyanannyiszor kezdő- mint végpont.
A definíció felírható a divizorcsoporttal. Legyen : egy leképezés! Egy görbe esetén helyettesíthetünk úgy, hogy legyen, ha . Különben divizor, ami -ben a +1, -ban a -1 értéket veszi fel, különben nulla. Egy lánc esetén definíció szerint . A leképezés magja
éppen a ciklusok csoportja. Körülfordulási szám A lánc nyoma az egyes görbék képeinek uniója. Azaz, . Ha , akkor ciklus -ben pontosan akkor, ha .
A körülfordulási számot a zárt görbéhez hasonlóan definiáljuk, de a nyomot használjuk, azaz .
A ciklus belseje azoknak a pontoknak a halmaza, ahol a körülfordulási szám nem nulla:
Külseje pedig azokat a pontokat tartalmazza, ahol a körülfordulási szám eltűnik:
Egy ciklus nullhomológ -ben, ha belseje része -nek: Ez pontosan akkor teljesül, ha az összes pont körülfordulási száma nulla.
Két ciklus, , homológ -ben, ha formális különbségük, nullhomológ -ben. Integráltételek A láncok és ciklusok jelentőségét a komplex analízisben a görbe menti integrál általánosítása adja. A ciklusokra is bizonyítható a reziduumtétel, a Cauchy-féle integráltétel és a Cauchy-integrálképlet.
A Stokes-tétel is igazolható. Legyen lánc -ben, legyen minden görbéje sima, továbbá legyen is sima. Ekkor a Stokes-tétel szerint , ahol az egy-ciklus szeletének lezárásoperátora, és a derivált.
A második integrál írható
alakban is. Ha sima görbékből álló ciklus, akkor a tétel egyszerűsíthető: , mivel ekkor az összeg lenullázódik. A homológiaelméletben A lánc és a ciklus topológiai objektum is. Az algebrai topológiában p-láncok komplexusait vizsgálják, és ezekből homológiacsoportokat képeznek. Ezek topológiai invariánsok. Különösen fontos a szinguláris homológiacsoportok homológiaelmélete.
A homológiaelméletben a cikkben definiált lánc a szinguláris komplexus 1-lánca, ami egy bizonyos lánckomplexus. A ciklus szakaszban definiált operátor a szinguláris komplexus peremoperátora, és a divizorok csoportja emiatt a nulla-láncok csoportjával izomorf. A ciklusok csoportja, mint az peremoperátor magja 1-ciklus a lánckomplexus értelmében.
A peremoperátor magva mellett tekinthetjük az operátor képét is, és ebből a két halmazból homológiacsoport konstruálható. Szinguláris komplexus esetén szinguláris homológiát kapunk. Ebben a kontextusban a nullhomológ lánc és a homológ lánc is absztraktabbá válik.
Jegyzetek
Források
Otto Forster: Riemannsche Flächen, Springer 1977, englisch Lectures on Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991, , Kapitel 20
Fordítás
Kategória:Komplex analízis Kategória:Algebrai topológia