A matematikában, azon belül a gyűrűelméletben a Noether-gyűrű olyan gyűrű, amiben az ideálokra teljesül a maximumfeltétel, azaz ideálok bármely
felszálló lánca stabilizálódik, vagyis létezik olyan , hogy . Ha a maximumfeltétel csak bal- illetve jobbideálokra igaz, akkor bal- illetve jobb-Noether-gyűrűről beszélünk. A fogalom Emmy Noetherről van elnevezve. Általánosítása a Noether-modulus: egy gyűrű akkor és csak akkor Noether-gyűrű, ha önmaga feletti modulusként Noether-modulus.
Ekvivalens definíciók A következő definíciók a Noether-tulajdonsággal ekvivalensek: Az ideálokra teljesül a maximumfeltétel. Ideálok egy tetszőleges halmazában van maximális elem. Minden ideál végesen generált. A feltételek megfelelően átfogalmazhatók bal- illetve jobbideálokra, így a bal- illetve jobb-Noether-tulajdonsággal ekvivalens feltételeket adva.
Cohen egy eredménye szerint kommutatív gyűrűkben ezekkel ekvivalens az a látszólag gyengébb kritérium, hogy minden prímideál végesen generált.
Tulajdonságok Ha Noether-gyűrű, akkor Hilbert bázistétele szerint is az. Indukcióval adódik, hogy is Noether. Ha Noether-gyűrű, akkor is az. Ha Noether és kétoldali ideál, akkor az faktorgyűrű is Noether. Ekvivalens megfogalmazás: Noether-gyűrű homomorf képe Noether. Kommutatív Noether-gyűrű felett végesen generált kommutatív algebra is Noether. Egy gyűrű bal-Noether, ha bármely végesen generált -balmodulus Noether-modulus. (Ugyanúgy jobb-Noether-gyűrűre jobbmodulusokkal.) Kommutatív Noether-gyűrű lokalizáltja Noether-gyűrű. Az Akizuki–Hopkins-tétel szerint minden (bal-)Artin-gyűrű (bal-)Noether-gyűrű. Továbbá egy bal-Artin-gyűrű akkor és csak akkor jobb-Noether, ha jobb-Artin. (Ugyanígy bal és jobb felcserélésével.)
Példák, ellenpéldák Minden test Noether: csak két ideálja van, és önmaga, így a maximumfeltétel triviálisan teljesül. Minden főideálgyűrű, például a racionális egészek Noether, mert minden ideált egyetlen (és így véges sok) elem generálja. Minden Dedekind-gyűrű Noether, mert minden ideál generálható legfeljebb két (és így véges sok) elemmel. Test vagy felett véges sok változójú polinomgyűrű Noether.
Ahhoz, hogy egy gyűrű ne legyen Noether-tulajdonságú, bizonyos értelemben „nagy” kell legyen. A következő gyűrűk nem Noether-gyűrűk: Végtelen sok változójú polinomgyűrű:
megsérti a maximumfeltételt. Az algebrai egészek gyűrűje:
megsérti a maximumfeltételt. Az folytonos függvények gyűrűje: ha minden -re , akkor az
lánc megsérti a maximumfeltételt.
Érdemes kiemelni, hogy egy nem-Noether-gyűrű lehet részgyűrűje egy Noether-gyűrűnek. Például az algebrai egészek gyűrűje részgyűrű a komplex számok testében.
Fordítás
Kategória:Gyűrűelmélet