bélyegkép|Freeman Dyson 2005-ben A Schwinger–Dyson-egyenletek általános összefüggések a kvantumtérelméletben (QFT) lévő korrelációs függvények között. Az egyenleteket a kvantumelektrodinamika két meghatározó kutatójáról, Julian Schwingerről és Freeman Dysonról nevezték el. A Schwinger−Dyson-egyenletek a kvantumtérelméletbeli megfelelői a klasszikus elméletben használt Euler–Lagrange-egyenleteknek. Azonban fontos megjegyezni, hogy az Euler−Lagrange-egyenletek "csak" valós parciális differenciálegyenletek, míg az SD-egyenletek operátorértékű eloszlásokra vonatkozó funkcionálegyenletek egy végtelen dimenziós Hilbert-térben.
Dyson "The S-Matrix in Quantum electrodynamics" (Az S-mátrix a kvantumelektrodinamikában) című tanulmányában perturbatív kvantumelekrodinamikai megközelítésből indult ki. A levezetésben végtelen sok Feynman-diagram összegzésével származtatott összefüggéseket a különböző a Heisenberg-féle S-mátrixelemek – vagy más néven egy-részecske Green-függvények – között. Schwinger a variációs elvéből kiindulva egy egyenletrendszert állított fel a kvantumtérelméleti Green-függvényekre nem-perturbatív módon, amelyek a Dyson-egyenleteket a kvantumtérelméleti Green-függvényekre vett általánosításai, és amit Schwinger–Dyson-egyenleteknek nevezünk. A Schwinger és Dyson által kidolgozott megközelítés a relativisztikus kvantumtérelmélet nem-perturbatív módszerei közé tartozik, és az elméleti fizika számos területén, mint például a szilárdtest-fizikában és az elemi részecskefizikában is megtalálhatók az alkalmazásai.
Schwinger egy másik egyenletet is levezetett a kétrészecske irreducibilis Green-függvényekre, amelyre manapság inhomogén Bethe–Salpeter-egyenletként hivatkozunk.
Levezetés Legyen adott egy polinomiális korlátos funkcionál a tér konfigurációk felett, majd legyen ennek bármely állapotvektorra (amely a QFT megoldása) , ekkor érvényes a
összefüggés, ahol a hatásfunkcionál és az időrendezés.
Kifejezés megadható ekvivalens módon sűrűségállapot-formalizmusban. Legyen adott bármely (érvényes) sűrűségi állapot , ekkor a Schwinger–Dyson-egyenlet
Ezen egyenletek végtelen halmaza megadja a relativisztikus kvantumtérelméleti korrelációs függvények nem perturbatív megoldását.
Érdemes átalakítani az egyenleteket, megmutatva a Feynman-diagrammokal való kapcsolatot, a jobb megértés érdekében. Az -operátor felbontható, mint
ahol az első tag a kvadratikus rész, ahol egy invertálható szimmetrikus (fermionokra antiszimmetrikus) kovariáns tenzor. A -t csupasz (bare, vagy Feynman) propagátornak nevezzük és fejezi ki az extra kölcsönhatást. A felbontást követően átírhatjuk az SD-egyenleteket a következőképpen:
Ha az a mező funkcionálja, akkor definicíó szerint megadható a követkő módon.
és funkcionálja -nek, akkor
Ha létezik a forrásmezőnek egy analitikus (a függvény előállítható egy lokálisan konvergens hatványsorból) funkcionálja generátor fukncionál), akkor definíció szerint felírható a következő egyenlet
ekkor a funkcionális integrálok tulajdonságaiból felírható a
egyenlet. A generátor funkcionálra vett Schwinger–Dyson-egyenlet pedig a következő lesz
Ha ezt az egyenletet Taylor-sorozatba fejtjük a -ban, akkor megkapjuk a Schwinger–Dyson-egyenleteket
Példa: φ4 elmélet Például tegyük fel, hogy a hatás a következő módon néz ki
ahol φ egy valós mező. Ekkor a mező szerinti derivált,
A Schwinger–Dyson-egyenlet pedig ehhez a konkrét példához a következő lesz:
Vegyük figyelembe, hogy mivel a
nem pontosan meghatározott, mert
egy disztribúciója a , és -nak. Ezért az egyenletet regularizálni kell.
Ebben a példában a D csupasz propagátor a Green-függvénye így a Schwinger–Dyson-egyenletek a következők lesznek:
és
stb.
(Hacsak nincs spontán szimmetriasértés, a páratlan korrelációs függvények eltűnnek.)
Jegyzetek
Fordítás
További információk Nem sok könyv foglalkozik a Schwinger–Dyson-egyenletekkel. Íme három szabványos hivatkozás:
Peskin-Schröder: An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley (1995)
Van néhány áttekintő cikk a Schwinger–Dyson-egyenletek alkalmazásáról a fizika egyes speciális területére vonatkozóan. A kvantum-színdinamikai alkalmazásokhoz léteznek
Kategória:Differenciálegyenletek Kategória:Kvantumtérelmélet