A százalék a racionális számok (általában arányok) felírásának olyan alakja, amely a szám értékét századokban adja meg, tulajdonképpen az alakú törtek egyszerűbb alakja. Jelölésére a százalékjel (%) szolgál, mely azonban nem mértékegység, hanem a szimbóluma. Az tört tehát formában is felírható. Például .

Százalékszámítás A százalékszámításban alap az a mennyiség, aminek a valahány százalékát vesszük; százalékláb a százalékban megadott érték, és százalékérték az a mennyiség, ami az alapnak valahány százaléka. Például, ha 200-nak vesszük a 25%-át, akkor az 50 lesz. Itt 200 az alap, 25 a százalékláb, és 50 a százalékérték. A százalékértéket úgy kapjuk meg, hogy összeszorozzuk az alapot a százaléklábbal, és szorzatukat elosztjuk 100-zal.

Az emelések hozzáadódnak, a csökkentések levonódnak. Például, ha valaminek az ára 10%-kal nő, akkor az új ár a régi 110%-a; ha az ár 10%-kal csökken, akkor az új ár a régi 90%-a. Ha többször változik egy mennyiség, akkor ezek a mennyiségek összeszorzódnak, mivel az újabb változás már az előző megváltozással kapott összegre vonatkozik. Például, ha az ár először 10%-kal növekedik, majd 10%-kal csökken, akkor a végső ár az eredetinek (100% + 10%) · (100% − 10%) = 110% · 90% = 1,1 · 0,9 = 0,99 = 99%-a lesz. A szorzás kommutativitása miatt a végeredmény nagysága nem függ a változások sorrendjétől.

Gyakori hiba, hogy az egymást követő emelések és csökkentések százalékos értékét egyszerűen összeadjuk. Ez azonban könnyen beláthatóan téves, mint fentebb is látható. Például -os emelés és ezt követő -os csökkentés következtében nem az eredeti árat kapjuk vissza, hanem -szorosát. Ez beláthatóan kevesebb, mint a 100%.

A százalék nagysága nemcsak a százaléklábbal egyenesen arányos, hanem az alap nagyságával is, így ugyanaz a százalékláb a nagyobb mennyiségnél többet jelent. Például, ha egy mennyiség 25%-kal nő, akkor egy 20%-os csökkentés a kiindulási mennyiséget adja vissza. Fordítva, egy 20%-os csökkenést egy 25%-os emelkedésnek kell követnie, hogy az eredeti mennyiség visszaálljon.

Az alábbi táblázatban G az alap, W a százalékérték, és p a százalékláb.

Általános képlettelArányegyenlettelMi az 1%? többszörös átalakítással:egyszerű átszámolással: átalakítás nélkül: Előny:• Egy képlet minden feladathoz Előnyök:• Nem kell képlet• Egyszerű átalakítás, ha a keresett mennyiség – itt G – bal oldalon a számlálóban áll. Előnyök:• Nem kell képlet• Fejszámolásnál is használható

A továbbiakban a táblázatban szereplő jelöléseket használjuk.

A százalékszámítás alapképlete: . Egy kis átrendezéssel: . Az alkalmazás céljából a képlet átrendezhető:

és .

Példa: Ha egy tömegnek a 7%-a 42 kg, akkor mennyi a teljes tömeg? Százalékérték, W: 42 kg Százalék, p%: 7%. Keressük az egészet: G.

A megoldáshoz G-t kell kifejezni: .

A különféle számológépek nem kezelik egységesen a százalék megadásának módját; ez megzavarhatja a számolást. Ez elkerülhető azzal, hogy a százalékokat törtekként, tizedestörtekként visszük be, vagy pótlólag osztunk százzal.

Százalék és tört alak átváltása A százalékjel helyettesíthető az szorzással. Például: : 50 % egyenlő -zal, illetve -dal, ami egyszerűsíthető -re.

Megfordítva, a valahányad rész úgy számítható át, hogy 100%-kal szorozzuk. Például:

Alkalmazások A százalékok sok helyen felbukkannak. Az árak, a bérek megváltozását, az adókat, a kamatokat, és a kedvezményeket százalékokban szokás kifejezni.

A százalék alkalmazása előtt meg kell győződni arról, hogy a feladat megadása korrekt-e, illetve van-e egyáltalán értelme százalékról, tehát arányról beszélni. Így például nincs értelme annak, hogy a Celsius-fokban vagy Fahrenheit-fokban kifejezett hőmérséklet hány százalékkal nőtt, hiszen ezeknek a skáláknak a nullapontjai nem természetesek (másként fogalmazva: a Celsius-fokban vagy Fahrenheit-fokban kifejezett hőmérséklet nem arányos a belső energiával). Ezzel szemben kelvinben megadott hőmérséklet megváltozását már van értelme arányként, azaz akár százalékban megadni, hiszen a kelvinben megadott hőmérséklet szoros kapcsolatban áll a rendszer energiatartalmával. Így ha egy hőmérséklet százalékos megváltozásáról beszélünk, mindig a kelvinben kifejezett hőmérsékletet kell alapul venni.

Pl. ha egy 25 Celsius-fokos test hőmérsékletét 10%-kal megnövelem, annak hőmérséklete 54,815 Celsius-fok lesz:

Meredekségek bélyegkép|left|150px|„Veszélyes emelkedő” KRESZ-tábla A technikában a meredekséget szintén százalékban adják meg. A százalékban megadott érték a szintkülönbség és a vízszintes szakasz hányadosa. A 10%-os meredekség azt jelenti, hogy 100 méteren 10 méter az emelkedés (10m/100m=0,1=10%). Ügyelni kell a mértékegységekre; ha 100 méteren 6 centiméter (=0,06 méter) a szintkülönbség, akkor az emelkedés 0,06%-os lesz (0,06m/100m=0,0006=0,06%). Az így megadott meredekség tulajdonképpen az emelkedési szög tangense; például, ha az emelkedési szög 45 fok, akkor a meredekség 100%, a tangens pedig 1.

Az utakon a jelzőtáblákra nem az útszakasz átlagos meredekségét, hanem a legnagyobb meredekségét írják fel. Vasutaknál 1%, hegyi utakon 10%-30%, sípályákon 100%-ig, és szerepel még néhány extrém eset illusztrációként:

+ Tipikus meredekségek: Meredekség Szög (ca.) 0‰ (= 0,0%) 0,0° 1‰ (= 0,1%) 0,057° 3‰ (= 0,3%) 0,17° 1% 0,57° 3% 1,72° 8% 4,57° 10% 5,71° 12% 6,84° 15% 8,53° 20% 11,3° 25% 14,0° 30% 16,7° 40% 21,8° 50% 26,6° 70% 35,0° 100% 45,0° 200% 63,4° 500% 78,7° 1000% 84,3° 10000% 89,4° ∞ (végtelen) % 90,0°

Anyagok keverése Anyagok keverésénél több szempontból is figyelni kell:

A százalék az oldószer 100 egységére jutó oldott anyagot, vagy a kész oldatban levő oldott anyag arányát adja meg. Az első szerepel az oldhatósági adatoknál, a második a koncentrációknál.

A százalékos adat térfogatra vagy tömegre vonatkozik-e. A két anyag sűrűsége nem egyezik meg, így a két százalékos adat különböző.

Például a víz és az alkohol keverékében az alkohol sűrűsége alacsonyabb (ca. 0,8 g/cm³), így az alkoholos italok tömegszázaléka kisebb, mint a térfogatszázaléka. Például az 50 térfogatszázalékos pálinka tömegszázaléka 44,4%. Áfa Gyakori példa az áfa kiszámítása. Mivel a legtöbb helyen az ár már tartalmazza, azért a vásárlóknak többnyire nem kell külön kiszámolniuk. Ez többnyire a céges beszerzéseket és a kereskedőket érinti.

Az áfát is magában foglaló ár az áremeléses példához hasonlóan működik: Az áfát megkapjuk, ha a nettó érték és az áfa százaléklábának szorzatát elosztjuk százzal. Ezt hozzáadva a nettó árhoz megkapjuk a bruttó árat. A bruttó ár megkapható, ha az egyet megnöveljük a százalékkal kifejezett értékkel, és ezt beszorozzuk a nettó árral.

Például, ha az ár 100 euró, és az áfa 19%-os, akkor a bruttó ár számolása: Az első módszerrel 100 euró · 19% = 100 euró · 0,19 = 19 euró. Ezt hozzáadva a nettó árhoz: 100 euró + 19 euró = 119 euró. A második módszerrel bruttó = nettó · (1 + 19 %) = nettó · (1 + 0,19) = nettó · 1,19. A második módszer képletének átrendezésével a többi mennyiség is kiszámítható.

A nyelvhasználat a mindennapokban nem matematikai pontosságú. Így keletkezhetnek a következő kijelentések: Az áfa 19%. Értsd: Az áfa tétele 19%. A számla 19% áfát tartalmaz. Értsd: Ez a bruttó összeg, amibe bele van számolva 19%-os áfa. Az összeg 19%-a áfa. Értsd: Ez a bruttó összeg, amibe bele van számolva 19%-os áfa. A bruttó összeg nagyobb, mint a nettó, így a beleszámolt áfa értéke hozzá képest nem 19%, hanem csak ~15,97%. A zsebpénzemet 50%-kal megemelték. Az emelés a régi értékhez képest értendő. Ha 10 euró volt, akkor az új érték 15 euró, aminek az 5 euró már csak 33+1/3%-a. A zsebpénzem 50%-a kiegészítés a mamától. A zsebpénz 50%-a, azaz 7,5 euró származik a mamától.

A százalékjel helyesírása A %-jelet a százalékláb után szóköz nélkül írjuk. A toldalékolás a jelhez kötőjellel kapcsolódik.

Eredete

A százalékszámítás eredete az ókori Római Birodalomig nyúlik vissza. A számítások egyszerűsítése végett ugyanis ott a kamatokat, adókat 100 egységre határozták meg. Ez a százalék régies nevének, a percentnek is az eredete: a per cent magyarra fordítva százanként. Mivel a középkorban a pénzmennyiség egyre nőtt, a 100-as nevezővel egyre gyakoribbak voltak a számítások, így a százalékszámítás sztenderdizálódott. A XV-XVI. századtól a százalékszámítás a szokásos számtani műveletek közé került.

Megjegyzések

Jegyzetek

Források

Fordítás

Kapcsolódó szócikkek Ezrelék 100

További információk

Kategória:Elemi matematika