„Fogalomírásomnak az élet nyelvéhez való viszonyát, úgy vélem, azzal világíthatom meg a legjobban, ha a mikroszkópnak a szemhez való viszonyával vetem össze. Utóbbi … nagy fölényben van a mikroszkóppal szemben. Amikor azonban tudományos célok nagy követelményeket támasztanak a megkülönböztetés élességével szemben, a szem elégtelennek bizonyul. A mikroszkóp viszont ilyen célokra a legtökéletesebben megfelel, de épp ezért minden másra hasznavehetetlen. Hasonlóképpen a jelen fogalomírás is egy meghatározott tudományos célra kigondolt segédeszköz, amelyet nem szabad amiatt elítélni, hogy másra nem alkalmas …
Ha a filozófia feladata, hogy megtörje a szó uralmát az emberi szellem felett […], úgy fogalomírásom, ezekre a célokra továbbfejlesztve, hasznos eszközzé válhat a filozófusok számára. […] Úgy vélem, hogy a logikát már ezen fogalomírás feltalálása is előmozdította. Remélem, hogy a logikusok, ha nem riadnak vissza az idegenszerűség első benyomásától, nem tagadják meg majd egyetértésüket azoktól az újításoktól, melyekre engem a tárgyban bennerejlő szükségszerűség késztetett. Ezek az eltérések a megszokottól abban lelik igazolásukat, hogy a logika mindeddig még túl szorosan kapcsolódott a nyelvhez és a nyelvtanhoz. Különösen a szubjektum, ill. predikátum fogalmának az argumentum, ill. függvény fogalmával való helyettesítését vélem maradandónak …” (Frege: Fogalomírás [Előszó]).
A Fogalomírás, más néven Begriffsschrift Gottlob Frege jénai matematikus 1879-ben írt műve, illetve a műben kidolgozott formális elmélet (formális nyelv) a matematikai logika számára. A mű eredeti, teljes német címe Begriffsschrift, eine der aritmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, azaz Fogalomírás, a tiszta gondolkodás aritmetikai mintára alapozott formulanyelve.Ami a cím első szavát (Begriffsschrift) illeti, ezt a 19. században a német nyelvben használták időnként az egyiptomi hieroglif írás (ill. hasonló írásrendszerek, pl. a kínai írás) logogrammatikus jellegének kidomborítására. Ld. pl. Konrad Hermann: Das Problem der Sprache und seine Entwickelung in der Geschichte (Drezda, R. Kuncze kiadása, 1865; 21. f. (Die sprache und die Begriffsschrift; 66. o. - ), ld. még K. F. Merleker: Musologie (F. Brockhaus, 1857, 7. old.). Nincs különösebb bizonyítéka, hogy Frege gondolt volna erre az értelmezésre a címadáskor.
Frege ebben dolgozta ki a matematikai logika első jelentősebb elméletét, az ún. elsőrendű predikátumlogikát (valójában Frege elmélete még bővebb is, mint az elsőrendű logika); ezzel az ókor (Arisztotelész, sztoikusok) óta, több ezer éve először történt alapvető, paradigmális változás a formális logika tudományában. A Frege által alkotott szimbolikus logikai formális nyelv, melyet szintén fogalomírásnak nevezünk, volt az első igazán jelentős példája az ilyesfajta nyelveknek.
A mű története Tudomány- és eszmetörténeti (és egyéb) előzmények és motivációk
„Száz évvel ezelőtt, 1879-ben, vékonyka, mindössze 88 oldal terjedelmű könyv jelent meg Halléban. Szerzője dr. Friedrich Ludwig Gottlob Frege, a Jénai Egyetem 31 éves magántanára. A könyvecske címe: Begriffsschrift, eine der aritmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, magyarul: Fogalomírás. Eltekintve néhány recenziótól, a mű a századfordulóig teljesen észrevétlen maradt, és semmilyen hatást nem fejtett ki a tudomány fejlődésére. Pedig ez a könyv a 19. század utolsó harmadának egyik legjelentősebb szellemi alkotását tartalmazza. Ma már a Begriffsschrift megjelenési évét tekintik – teljes joggal – a modern logika (szimbolikus vagy matematikai logika) születési évének, míg a könyv szerzőjét – ugyancsak indokoltan – korunk Arisztotelészének.” (Ruzsa Imre: Logika, szemantika, matematika [Előszó]).
Frege 1874 óta volt a Jénai Egyetem fizetés nélküli magántanára, matematikai előadásokat tartott. Kollégája és volt tanára, Ernst Abbe meghívta Fregét rendkívüli kinevezett professzornak, többek között hogy segítsen annak nehéz anyagi helyzetén (bővebben) . A kinevezés feltételei közé ebben az időszakban szokásosan beletartozott az is, hogy a tanárjelölt egy tudományos munkát készítsen. Abbe azt javasolta Fregének, adja ki addigi logikai kutatásainak eredményeit, és az így keletkezett művel pályázzon a professzori állás megszerzésére. Frege így is tett, az elkészült munka, mely 1879-ben meg is jelent, a „Fogalomírás” címet kapta.
Egyesek Frege művét úgy interpretálják, mint a sztoikus logika és az arisztotelészi kvantált kijelentések elméleteinek egyesítését (Richard Mendelsohn, 2002). Kétségtelen, hogy a Fogalomírásban végeredményképp ez (is) történik; azonban, noha a sztoikus logika újrafelfedezése is az 1800-as évek végére esik, nem bizonyított, hogy Frege művének szintézis volta szó szerint is igaz, azaz a szerző ismerte volna a sztoikusok elméleteit (sőt lehetséges, hogy az arisztotelészi logika helyett is csak a tradicionális logikát ismerte).
Bár a logika megújításának, egy calculus ratiocinator megalkotásának a gondolata még Leibniztől származik, az ennek megvalósítását célzó első komoly lépéseket csak két évszázad múlva tették meg a matematikusok. Az angol George Boole konstruált egy logikai algebrát, amelyet mások (köztük a német Ernst Schröder) módosítottak és továbbfejlesztettek; módszerét és kapacitását tekintve azonban a Boole–Schröder-algebra csak halvány előképe Leibniz gondolatainak, s e tekintetben összehasonlíthatatlan Frege művével. Noha vitatkozni lehet azon, hogy Frege gondolatai mennyire előzmény nélküliek, az biztos, hogy fogalomírása szinte tökéletes alkotás, amelynek alapjaihoz az azóta eltelt százegynéhány esztendő tartalmilag semmi lényegeset nem tett hozzá, pusztán Frege eredeti, szemléletes és meglehetősen áttekinthető jelölésrendszerét cserélték le (nyomdatechnikai okok miatt, elsősorban Russell) a mai, semmivel sem könnyebben olvasható jelrendszerre.
„Meglepő lehet, hogy ez a fiatal tudós 30 éves korára ilyen nagy jelentőségű eredményhez jutott. Meglepődésünket csak fokozza az a tény, hogy a maga elé tűzött kutatási programjában egyáltalán nem szerepelt a logika megreformálásának gondolata” – írja Ruzsa Imre. Valóban, a Fogalomírás alapgondolatai inkább bizonyos, még Immanuel Kant által felvetett, de valójában sokkal régebbi eredetű filozófiai problémákhoz kapcsolódnak, melyek a matematika fogalmainak és állításainak létére-tartalmára és természetére kérdeznek rá. Mint filozofikus hajlamú matematikus, Frege élénken érdeklődött diszciplínájának „végső alapjai” iránt, és mélységesen elégedetlen volt a korabeli felfogásokkal (utóbbiakról és Frege általi bírálatukról ld. Gottlob Frege: Az aritmetika alapjai). Arra a meggyőződésre jutott, hogy az aritmetika tisztán logikai tudomány, és céljául tűzte ki ennek szabatos bizonyítását. „A legbiztosabb nyilván a logikai bizonyítási mód […] ezért az olyan igazságokat, melyek megalapozást igényelnek, két típusba soroljuk: az egyik típusban a bizonyítás tisztán logikailag lehetséges, a másikban viszont tapasztalati tényekre kell támaszkodnia. Amikor azt a kérdést tettem fel magamnak, hogy az aritmetikai ítéletek melyik típusba tartoznak e kettő közül, először azt kellett megvizsgálnom, mennyire lehet jutni pusztán következtetésekkel az aritmetikában […]. Eljárásom az volt, hogy először megkísérlem a sorozaton belüli elrendezettség fogalmát a logikai következtetésekre visszavezetni, hogy innen a számfogalomhoz léphessek tovább. Hogy itt ne furakodjon be észrevétlenül valami szemléletes, azt teljesen a következtetésláncok hézagtalanságának kellett biztosítania. Miközben ezt a követelményt a legszigorúbban kielégíteni igyekeztem, akadályba ütköztem a nyelv elégtelenségében, amely […] annál kevésbé engedte elérnem azt a szabatosságot, amelyet célom megkívánt, minél bonyolultabbá váltak az összefüggések. Ebből a szükségszerűségből keletkezett a jelen Fogalomírás gondolata.” (Frege: Fogalomírás [Előszó])
Mivel a természetes nyelv és az erre mind tárgyában, mind formájában igencsak építő tradicionális logika alkalmatlannak bizonyult a matematikai definíciók és bizonyítások reprodukálására (kiegészítés vagy továbbfejlesztés nélkül ugyanilyen alkalmatlan a Boole–Schröder-algebra is), így a kitűzött feladat arra késztette, hogy – mellékfeladatként – olyan logikai eszközrendszert alkosson, aminek keretében a matematikai bizonyítások céljainak megfelelően elemezhetőek. Azonban, mint műve címe is mutatja, kezdettől fogva tisztában volt azzal, hogy logikája nem kizárólag a matematika logikájáé, hanem a szabatos gondolkodásé általában.
Egyesek (például Reuben Hersh) valószínűleg félreértették vagy félremagyarázták Fregének a fentemlített szabatos bizonyítási módszerrel és mellékfeladattal kapcsolatos céljait is (Hersh: A matematika természete; 155. o). Túlzott egyszerűsítés azt mondani, hogy Frege elsődleges és eredeti célja az volt, hogy „abszolút bizonyosságot” adjon a matematika állításainak (fundacionalizmus); az effajta, euklideszit meghaladó szigorúságról említést tesz ugyan, mint a korra általánosan jellemző „tünetről”, és egyet is ért vele; ezt és a leibnizi „univerzális kalkulus” megteremtését a mű Előszavában mégis csak mint nagyon távoli – még csak nem is célt, hanem inkább alkalmazási lehetőséget – azaz mint egyfajta esetleges következményt említi. Elsődleges céljaként még Az aritmetika alapjai c. művében sem ezt jelöli meg. Elsődleges célja egy filozófiai sejtés bizonyítása, azé, hogy a logika alkalmasan használható a fundacionalizmus céljaira (de egy fundacionalista elmélet kidolgozása nem célja volt a Fogalomírásnak, hanem inkább „mellékterméke”). Sőt a Fogalomírás és a hozzá szorosan kapcsolódó Az aritmetika alaptörvényei éppenséggel a pszichologista, formalista és empirista fundacionalizmus elleni vitairatban, Az aritmetika alapjaiban lefektetett filozófiai tételek tudományos igazolási kísérletének tekinthetőek. Tudománytörténetileg nem igazolható Hershnek az a feltevése, hogy Frege a „jobbos” matematikai fundacionalizmus („matematikai fundamentalizmus”?) mániákus úttörője – inkább egy a képviselői közül; egyszersmind ezen irányzat hiányosságainak és kezdetlegességének kritikusa, aki felhívta a figyelmet az óriási hibákra és fogalmi zavarra, de javasolt egy megoldást is.
A mű értékelése, fogadtatása régen és ma
Frege örömmel regisztrálhatta (és a mű Előszavában és második fejezete végén ezt meg is tette), hogy Fogalomírása magában foglalja nemcsak a tradicionális logika minden helytálló eredményét, hanem „tudja” annak nagy részét is, amit a Boole–Schröder-algebra tud, és ugyanakkor messze túlszárnyalja ezeket.
Éppen ezért nagyon is magyarázatra szorul a mű Frege számára óriási csalódást jelentető fogadtatása a szélesebb tudományos közönség körében, mivel műve nem keltett az eredmények fontossága alapján várt érdeklődést, annál inkább rosszallást; pedig a benne foglaltak matematikailag helyesek voltak (a mű mindössze két ismert – és nem túl lényeges – szakmai hibát vagy vitatható állítást tartalmaz); szakmai szempontból nemhogy sok kivetnivalót lehet benne találni, hanem inkább példamutatóan precíz. Hátrányos fogadtatásához többek között a mű egyik lényege, a Frege által bevezetett újszerű szimbólumrendszer is hozzájárult, és az is, hogy a fogalomírás (elég világosan megfogalmazott) céljait nem ismerték fel vagy nem értették meg. A megírása és megjelenése mindenesetre hozzásegítette Fregét a rendkívüli egyetemi tanári kinevezéshez, és ezzel, a biztosabb jövőkép megteremtésén keresztül, a nyugodt alkotó- és kutatómunkához. Egyúttal pedig megszületett a modern matematikai logika addigi legjobban kidolgozott elmélete is.