In matematica un gruppo è una struttura algebrica formata dall'abbinamento di un insieme non vuoto con un'operazione binaria interna (come ad esempio la addizione o la moltiplicazione), che soddisfa gli assiomi di associatività, di esistenza dell'elemento neutro e di esistenza dell'inverso di ogni elemento.

Tali assiomi sono soddisfatti da numerose strutture algebriche, come ad esempio i numeri interi con l'operazione di addizione, ma essi sono molto più generali e prescindono dalla natura particolare del gruppo considerato. In questo modo diviene possibile lavorare in maniera flessibile con oggetti matematici di natura e origine molto diverse tra loro, riconoscendone alcuni importanti aspetti strutturali comuni. Il ruolo chiave dei gruppi in numerose aree interne ed esterne alla matematica ne fa uno dei concetti fondamentali della matematica moderna.

Il concetto di gruppo nacque dagli studi sulle equazioni polinomiali, iniziati da Évariste Galois negli anni trenta del XIX secolo. In seguito a contributi provenienti da altri settori della matematica come la teoria dei numeri e la geometria, la nozione di gruppo fu generalizzata e definita stabilmente attorno al 1870. La moderna teoria dei gruppi - una disciplina matematica molto attiva - si occupa dello studio astratto dei gruppi. Mathematical Reviews conta articoli di ricerca di teoria dei gruppi e sue generalizzazioni pubblicati nel solo 2005.

I matematici hanno sviluppato varie nozioni per spezzare i gruppi in parti più piccole e più facili da studiare, come i sottogruppi e i quozienti. Oltre a studiare le loro proprietà astratte, i teorici dei gruppi si occupano anche dei differenti modi in cui un gruppo può essere espresso concretamente, da un punto di vista sia teorico, sia computazionale. Una teoria particolarmente ricca è stata sviluppata per i gruppi finiti, culminata con la monumentale classificazione dei gruppi semplici finiti, completata nel 1983.

Definizione e prime proprietà Definizione Un gruppo è un insieme munito di un'operazione binaria , che ad ogni coppia di elementi , di associa un elemento, che indichiamo con , appartenente a , per cui siano soddisfatti i seguenti assiomi:.

proprietà associativa: dati appartenenti a , vale . esistenza dell'elemento neutro: esiste in un elemento neutro rispetto all'operazione , cioè tale che per ogni appartenente a . esistenza dell'inverso: per ogni elemento di esiste un elemento , detto inverso di , tale che .

Imponendo solo alcuni fra questi assiomi si ottengono altre strutture, quali magma, quasigruppo, semigruppo e monoide.

È importante evidenziare che la struttura di gruppo consiste di due oggetti: l'insieme e l'operazione binaria su di esso. Per semplicità, tuttavia, si è soliti denotare un gruppo con il solo simbolo dell'insieme sul quale il gruppo è "costruito", qualora l'operazione sia chiara dal contesto e non vi sia rischio di confusione.

Un gruppo si dice commutativo (o abeliano) se l'operazione è commutativa, ovvero soddisfi la relazione per ogni coppia , di elementi di ..

La cardinalità dell'insieme viene indicata con ed è chiamata ordine del gruppo: se questa è finita, allora è un gruppo finito, altrimenti è infinito.

Prime proprietà Si vede subito che l'elemento neutro di un gruppo è univocamente determinato. Infatti se , sono entrambi elementi neutri, si ha , dove la prima eguaglianza segue dal fatto che è un elemento neutro, e la seconda dal fatto che lo è .

Allo stesso modo, l'inverso di un elemento è univocamente determinato. Infatti se , sono entrambi inversi di , si ha , dove le uguaglianze seguono nell'ordine dalla definizione di elemento neutro, dal fatto che è un inverso di , dalla proprietà associativa, dal fatto che è un inverso di , e ancora dalla definizione di elemento neutro.

L'inverso dell'elemento è spesso indicato con .

Potenze Dati e , la potenza di base ed esponente , indicata con , è definita da quanto segue:

,

se ,

se .

Notazioni moltiplicativa e additiva Come per l'usuale moltiplicazione fra numeri, viene spesso adottata una notazione moltiplicativa per l'operazione binaria di un gruppo : il prodotto di due elementi e è quindi indicato con invece che . In tal caso, l'elemento neutro viene generalmente indicato con (o anche solo se non c'è rischio di ambiguità).

Quando il gruppo è abeliano, si preferisce a volte usare una notazione additiva invece che moltiplicativa, indicando con . Con questa notazione, l'elemento neutro diviene (o semplicemente ), la potenza diventa e si dice multiplo -esimo (o -uplo) di , e l'inverso viene indicato con , ed è solitamente detto opposto di .

Storia Il moderno concetto di gruppo trae le sue origini da vari settori della matematica.

In algebra, la teoria dei gruppi vide la luce all'inizio del XIX secolo nello studio delle equazioni polinomiali. Il matematico francese Évariste Galois, estendendo precedenti lavori di Paolo Ruffini e Joseph-Louis Lagrange, fornì nel 1832 un criterio per la risolubilità di un'equazione polinomiale in funzione del gruppo di simmetria delle sue radici (successivamente chiamato gruppo di Galois). Dai suoi lavori discende il teorema di Abel-Ruffini, che sancisce l'impossibilità di trovare formule di risoluzione generali per equazioni di grado superiore a 4.

I gruppi di permutazioni sono però oggetti matematici più generali e furono studiati in un'ottica più vasta da Augustin-Louis Cauchy. La prima definizione astratta di gruppo finito apparve in On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 di Arthur Cayley nel 1854.

In geometria, la nozione di gruppo si sviluppò naturalmente nello studio delle simmetrie di oggetti piani e solidi, ad esempio poligoni e poliedri. Nella seconda metà del XIX secolo i matematici scoprirono l'esistenza di geometrie non euclidee e la nozione stessa di "geometria" fu ampiamente ridiscussa. Il matematico Felix Klein propose nel suo programma di Erlangen del 1872 di utilizzare il concetto di gruppo di simmetria come mattone fondante della definizione di una geometria: nell'ottica di Klein il gruppo di simmetria è l'elemento fondamentale che determina la geometria e distingue ad esempio la geometria euclidea da quella iperbolica o proiettiva. Di particolare importanza in geometria sono anche i gruppi di Lie, introdotti da Sophus Lie a partire dal 1884.

Un terzo settore che contribuì allo sviluppo della teoria dei gruppi è la teoria dei numeri. Alcune strutture di gruppo abeliano furono implicitamente utilizzate nelle Disquisitiones Arithmeticae di Carl Friedrich Gauss del 1798 e poi, più esplicitamente, da Leopold Kronecker. Nel 1847 Ernst Kummer, nel tentativo di dimostrare l'ultimo teorema di Fermat, diede avvio allo studio dei gruppi delle classi di ideali di un campo di numeri.

L'unificazione di tutti questi concetti sviluppati nei vari settori della matematica in un'unica teoria dei gruppi iniziò con il Traité des substitutions et des équations algébriques di Camille Jordan del 1870. Nel 1882 Walther von Dyck formulò per primo la definizione moderna di gruppo astratto. Nel XX secolo i gruppi ottennero un ampio riconoscimento grazie ai lavori di Ferdinand Georg Frobenius e di William Burnside, che si occupò di teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti, grazie alla teoria delle rappresentazioni modulari di Richard Brauer ed agli articoli di Issai Schur. La teoria dei gruppi di Lie e, più in generale dei gruppi localmente compatti fu portata avanti da Hermann Weyl, Élie Joseph Cartan e molti altri. La controparte algebrica, cioè la teoria dei gruppi algebrici fu sviluppata da Claude Chevalley (a partire dagli anni 1930) ed in seguito da Armand Borel e Jacques Tits.

L'anno accademico 1960-61 fu dedicato dall'Università di Chicago alla teoria dei gruppi. All'iniziativa parteciparono teorici dei gruppi del calibro di Daniel Gorenstein, John G. Thompson e Walter Feit, che iniziarono una fruttuosa collaborazione, culminata con la classificazione dei gruppi semplici finiti nel 1982, un progetto che coinvolse moltissimi matematici. Ancora oggi la teoria dei gruppi è una branca della matematica molto attiva con impatti cruciali in numerosi altri settori.

Esempi Numeri L'insieme dei numeri interi

e la sua operazione di somma formano un gruppo abeliano. Il gruppo è quindi identificato dalla coppia . Tuttavia, i numeri interi non formano un gruppo con l'operazione di moltiplicazione: la moltiplicazione è associativa e ha per elemento neutro il numero (ossia è un monoide commutativo), ma la maggior parte degli elementi di non ha un inverso rispetto alla moltiplicazione. Ad esempio, non esiste nessun intero che moltiplicato per dia come risultato , quindi non ammette inverso in rispetto alla moltiplicazione; più precisamente, i soli numeri interi che ammettono inverso moltiplicativo in sono e .

Anche i numeri razionali, i numeri reali e i numeri complessi formano un gruppo con l'operazione di addizione. Si ottengono quindi tre altri gruppi:

I numeri razionali, privati dello zero, formano un gruppo con la moltiplicazione. Un numero razionale diverso da zero è infatti identificato da una frazione con , il cui inverso (rispetto alla moltiplicazione) è la frazione . Analogamente, i numeri reali (o complessi) non nulli formano un gruppo con la moltiplicazione. Pertanto, sono dei gruppi anche . (Tale costruzione non funziona con i numeri interi, ossia non è un gruppo: ciò è correlato al fatto che i razionali, reali o complessi formano un campo con le operazioni di somma e prodotto, mentre gli interi formano soltanto un anello.)

Tutti tali gruppi numerici sono abeliani.

Permutazioni

Le permutazioni di un fissato insieme formano un gruppo assieme all'operazione di composizione di funzioni. Questo gruppo è noto come gruppo simmetrico ed è generalmente indicato con (o ). Ad esempio, se , una permutazione può essere descritta da una parola nelle tre lettere , senza ripetizioni: ad esempio, la parola ACB indica una permutazione delle ultime due lettere (detta trasposizione), mentre la parola BAC indica una trasposizione delle prime due. Il gruppo consta quindi di sei elementi: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Il gruppo simmetrico su 3 elementi è il più piccolo esempio di gruppo non abeliano: componendo le due permutazioni ACB e BAC nei due modi possibili si ottengono infatti permutazioni differenti.

Gruppi di simmetria

Le simmetrie di un oggetto geometrico formano sempre un gruppo. Ad esempio, le simmetrie di un poligono regolare formano un gruppo finito detto gruppo diedrale. Le simmetrie di un quadrato sono mostrate qui sotto.

identità (non muove nulla) rotazione oraria di 90° rotazione oraria di 180° rotazione oraria di 270° simmetria verticale simmetria orizzontale simmetria diagonale altra simmetria diagonale Gli elementi del gruppo di simmetria del quadrato.

Anche le simmetrie di un poliedro formano un gruppo finito. Di particolare importanza sono i gruppi di simmetria dei solidi platonici. Ad esempio, il gruppo di simmetria del tetraedro consta di 24 elementi.

Algebra lineare L'algebra lineare fornisce molti gruppi, generalmente infiniti. Innanzitutto, uno spazio vettoriale come ad esempio lo spazio euclideo Rn di dimensione n è un gruppo abeliano con la usuale somma fra vettori.

Anche le matrici con m righe e n colonne sono un gruppo abeliano con la somma. Come per gli insiemi numerici, in alcuni casi è anche possibile costruire degli insiemi di matrici che formano un gruppo con il prodotto fra matrici. Tra questi, Il gruppo generale lineare formato da tutte le matrici quadrate invertibili. Il gruppo ortogonale formato dalle matrici quadrate ortogonali.

Concetti di base

Per comprendere in maniera più profonda la struttura di un gruppo sono stati introdotti alcuni importanti concetti. La caratteristica fondamentale che li accomuna è la loro “compatibilità” con l'operazione del gruppo.

Omomorfismi