In matematica, e in particolare in geometria, una quadrica (o superficie quadrica) è una (iper-)superficie di uno spazio n-dimensionale sui complessi o sui reali rappresentata da un'equazione polinomiale del secondo ordine nelle variabili spaziali (coordinate). Se le coordinate spaziali sono , allora la generale quadrica nello spazio (o ) è definita da un'equazione della forma
dove è una matrice (non nulla), un vettore e una costante.
Un punto qualsiasi di una superficie quadrica si definisce iperbolico, parabolico o ellittico a seconda che il piano tangente alla superficie in quel punto tagli la quadrica in due rette reali e distinte, coincidenti o immaginarie coniugate. I punti di una quadrica sono tutti dello stesso tipo, cioè o tutti iperbolici o tutti parabolici o tutti ellittici. Tale caratteristica dipende solo dal segno del determinante della quadrica (invariante nei sistemi di riferimento cartesiani ortogonali) e viene spesso posta in evidenza come aggettivo della quadrica (ad esempio, iperboloide iperbolico).
Attraverso traslazioni e rotazioni ogni quadrica può essere trasformata in una forma "normalizzata", sensibilmente più semplice di quella generale. Ad esempio, l'equazione normalizzata di molte quadriche nello spazio a tre dimensioni () è:
Nello spazio euclideo tridimensionale ogni quadrica può essere scritta in una delle seguenti 9 forme normalizzate:
Quadriche non degeneriEllissoide Ellissoide scaleno Sferoide prolato Sferoide oblato Sfera Paraboloide Paraboloide ellittico Paraboloide circolare Paraboloide iperbolico Iperboloide Iperboloide ad una falda (iperboloide iperbolico) Iperboloide a due falde (iperboloide ellittico) Quadriche degeneriCono (a due falde) Cilindro Cilindro ellittico Cilindro circolare Cilindro parabolico Cilindro iperbolico
Nello spazio proiettivo reale, a meno di una trasformazione proiettiva ci sono tre classi di equivalenza di quadriche: il cono, il cilindro e le altre quadriche "degeneri", cioè con curvatura gaussiana zero, sono tra loro equivalenti; i due paraboloidi iperbolici e le superfici rigate sono tra loro equivalenti; l'ellissoide, il paraboloide ellittico, l'iperboloide a due falde e le rimanenti quadriche sono tra loro equivalenti.
Nello spazio proiettivo complesso tutte le quadriche non degeneri sono tra loro equivalenti, a meno di trasformazioni proiettive.
Bibliografia
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Collegamenti esterni
http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node61.html, 16 Quadrics in Geometry Formulas and Facts di Silvio Levy, estratto dalla trentesima edizione di CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press).
Categoria:Geometria analitica Categoria:Geometria proiettiva