In algebra lineare la decomposizione di Cholesky è la fattorizzazione di una matrice hermitiana e definita positiva in una matrice triangolare inferiore e nella sua trasposta coniugata. Essa si può considerare come un caso speciale della più generale decomposizione LU. Il nome di questa decomposizione ricorda il matematico francese André-Louis Cholesky (1875-1918).
Definizione Sia una matrice quadrata, hermitiana e definita positiva su campo ; tale può essere decomposta come:
con matrice triangolare inferiore con elementi diagonali positivi e la matrice coniugata trasposta di .
Se la matrice è reale e simmetrica, la coniugata trasposta di coincide con la trasposta e la decomposizione si semplifica:
Algoritmo di Cholesky L'algoritmo di Cholesky, usato per calcolare la matrice di decomposizione , è una versione modificata dell'algoritmo di Gauss.
L'algoritmo ricorsivo inizia con il considerare:
Si definisce per i successivi :
in modo che:
La ricorsione termina dopo n passi dove . Si vede che la matrice triangolare inferiore è calcolata come:
Algoritmo di Cholesky Banachiewicz Lalgoritmo di Cholesky Banachiewicz dà una formula per calcolare direttamente le entrate della matrice triangolare inferiore . Esso inizia formando l'angolo superiore sinistro della matrice e procede a calcolare la matrice riga per riga:
Algoritmo di Cholesky-Crout Lalgoritmo di Cholesky-Crout fornisce un procedimento un po' differente per calcolare le entrate della matrice triangolare inferiore . Inizia formando l'angolo superiore sinistro della matrice e procede a calcolare la matrice colonna per colonna:
Esempio Un esempio pratico per una decomposizione di Cholesky di una matrice 2x2:
Bibliografia S. J. Julier and J. K. Uhlmann. A General Method for Approximating Nonlinear Transformations of ProbabilityDistributions. S. J. Julier and J.K. Uhlmann, A new extension of the Kalman filter to nonlinear systems, in Proc. AeroSense: 11th Int. Symp. Aerospace/Defence Sensing, Simulation and Controls, 1997, pp. 182–193.
Voci correlate Decomposizione LU Decomposizione di una matrice Decomposizione QR Matrice hermitiana Matrice quadrata Matrice simmetrica Matrice trasposta coniugata Matrice triangolare
Collegamenti esterni
Categoria:Decomposizione matriciale