数学の関数解析学、特にバナッハ空間の幾何学（幾何学的バナッハ空間論）において、ダンクル・ウィリアムズ定数（ダンクル・ウィリアムズていすう、）とは、ノルム空間（バナッハ空間）において、2つの非ゼロベクトルを単位球面上へ射影した際の距離と元のベクトル間の距離との比率の上限を表す数値指標である。
1964年にカナダの数学者とケネス・S・ウィリアムズによって提示された不等式（ダンクル・ウィリアムズの不等式）に因んで命名されたDunkl, C. F., & Williams, K. S. (1964). A simple inequality for estimates in normed linear spaces. *The American Mathematical Monthly*, 71(1), 53–54.。
動機 ノルム空間 における2つの非ゼロベクトル に対し、それらの単位ベクトル（球面上への正射影） と の間の距離が、元のベクトルの差 によってどのようにバウンドされるかという問題は、バナッハ空間の幾何学的構造や極限挙動を解析する上で基本的かつ重要である。
1964年、チャールズ・ダンクルとケネス・S・ウィリアムズは、任意のノルム空間において以下の不等式（ダンクル・ウィリアムズの不等式）が成立することを示した：
さらに、ヒルベルト空間（内積空間）においては定数 4 を 2 に改善できる（すなわち最良定数が 2 となる）ことが知られている。この「最良の評価定数」が空間ごとにどのように変化するかを捉えるために考案された指標がダンクル・ウィリアムズ定数である。この定数は、空間の幾何学的歪みや非ヒルベルト空間性を表す尺度として利用される。
定義 次元が 2 以上のノルム空間 に対し、ダンクル・ウィリアムズ定数 は次のように定義される：
主要な性質 値の範囲: 任意の次元 2 以上のノルム空間 に対して、常に以下が成り立つ：
ヒルベルト空間における値: がヒルベルト空間であるための必要十分条件の1つとして、ダンクル・ウィリアムズ定数が最小値をとることが挙げられる：
直交性と一様凸性: バナッハ空間の滑らかさや直交性（バーコフ＝ジェームズ直交など）と密接に関連しており、ダンクル・ウィリアムズ定数が 4 より厳密に小さいこと（）は空間の特定の幾何学的平滑性と関連づけられる。
具体例 Lp 空間 に対し、 空間（および 空間）のダンクル・ウィリアムズ定数は、指数 に依存して決定される。
（ヒルベルト空間）： または ：
他のバナッハ空間定数との関係 ダンクル・ウィリアムズ定数は、バナッハ空間論における他の重要な幾何学的定数と深い相互関係を持つ：
フォンノイマン・ジョルダン定数 : フォンノイマン・ジョルダン定数との間には、例えば などの不等式関係が成り立つ。 ジェームズ定数 : ジェームズ定数とも評価式を介して結びついており、一様非正方形性や一様凸性の精密な定量評価に用いられる。
脚注
関連項目 バナッハ空間 幾何学的バナッハ空間論 ヒルベルト空間 フォンノイマン・ジョルダン定数 ジェームズ定数 一様凸空間
参考文献