数学の関数解析学、特にバナッハ空間の幾何学（幾何学的バナッハ空間論）において、カールソン直交（カールソンちょっこう、）とは、内積を持たない一般のノルム空間（バナッハ空間）において、ベクトルの直交性を一般化した概念の一つである。
1935年にスウェーデンの数学者スティグ・カールソン（Stig Carlsson）によって導入されたCarlsson, S. (1935). Orthogonality in normed linear spaces. *Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik*, 25A(23), 1–14.。等脚直交やピタゴラス直交を包括する、より一般的で広範な直交概念の枠組みを与える。
動機 ヒルベルト空間（内積空間）では、極化恒等式（分極恒等式）により、2つのベクトル の内積 はノルムの2乗の線形結合として表現できる。例えば、
や
などが成り立つ。内積空間において （直交）であることは、これらのノルムの線形結合式が 0 に等しいことと同値である。
カールソンは、実数の定数係数 を用いて一般のノルム項の線形結合和 を構成し、これが内積空間において内積（あるいはその定数倍）と一致するような係数条件を特定した。そして、このノルム和が 0 になることを一般のノルム空間における直交性の定義として採用した。
定義 カールソン直交は、特定の代数的条件を満たすパラメータ（係数の組）を1つ固定するごとに1つの直交関係が定まる、パラメータ族（族）としての直交概念である。
具体的には、実定数の組 が次の条件1–3を満たすとき、これをカールソン係数系と呼ぶ：
1.
2.
3.
この係数条件 1–3 は、 が内積空間である場合に、ノルムの2乗の線形結合が正確に内積 と一致（）することを保証する代数的条件である。
与えられた1つのカールソン係数系 に対して、実ノルム空間 の要素 が係数系 に関してカールソン直交する（ または単に ）とは、次が成り立つこととして定義される：
言葉を換えると、特定の係数系 を選択・提示することで1つの「カールソン直交関係」が定義される。「すべての」カールソン係数系に対して上式が成り立つことを要求するものではない（もし一般の空間で任意のカールソン係数系に対して上式が同時に成り立つならば、平行四辺形法則が導かれ、その空間 自体が内積空間であることが強要される）。
複素ノルム空間への拡張 カールソン直交の概念は、複素ノルム空間（複素バナッハ空間）へも拡張されるAmir, D. (1986). *Characterizations of Inner Product Spaces*. Birkhäuser Basel.。複素内積空間における複素極化恒等式：
を基として、複素係数 および複素定数 を用いた線形結合：
によって複素カールソン直交が定義される。係数条件は、複素内積空間において （実部）あるいは （エルミート内積全体）と一致するように設定される。実ノルム空間の場合と同様に、選択する複素係数系の組み合わせによって異なる直交概念が得られる。
他の直交概念との包含関係 カールソン直交は係数 の選び方によって異なる直交概念を特別の場合として含む包摂的な定義である。
等脚直交 (): 係数を 、 および と選ぶと、定義式は （すなわち ）となり、等脚直交と一致する。 ピタゴラス直交 (): 係数を 、、、 と選ぶと、定義式は となり、ピタゴラス直交と一致する。
主要な性質
対称性（Symmetry）: 係数条件において と が対称的であるように選ばれている場合、カールソン直交は常に対称性を満たす：
非斉次性（Non-homogeneity）: 一般のノルム空間では、選んだ係数の組み合わせによってはスカラー倍に関する斉次性（）が一般には成り立たない。
内積空間の特徴付け 次元が 2 以上のノルム空間 において、特定のカールソン直交性が斉次性を満たすこと、または他の非同値な直交概念（バーコフ＝ジェームズ直交など）と常に一致するための必要十分条件は、その空間がヒルベルト空間（内積空間）であることである。
脚注
関連項目 バナッハ空間 幾何学的バナッハ空間論 ヒルベルト空間 直交 バーコフ＝ジェームズ直交 等脚直交 ロバーツ直交 ピタゴラス直交 フォンノイマン・ジョルダン定数
参考文献