Давид Хилберт (германски David Hilbert; Кенигсберг, - Гетинген, ) бил германски математичар кој направил важен придонес во неколку гранки на математиката.
Хилберт во 1888 година објавил една важна Јорданова теорема на системите од повискиот ред, за во 1899 година да ги објави своите основи во геометријата (Grundlagen der Geometrie) во кои таа тема конечно, ја ставил на строга аксиоматска основа. Тој исто така покажал дека геометријата е исто толку доследна како и аритметиката на реални броеви. Во 1900 година, Хилберт издвоил дел од 23-те проблеми како предизвик за математичарите од 20 век; решенија или некој вид на подобрување бил направен за околу три четвртини од нив. Подоцна, Хилберт се посветил на работата на теоретската физика и основите на математиката. Тој го развил математичкиот формализам кој го довел до делот на Основите на математиката (Grundlagen der Mathematik, 1934-1939), заедно со Пол Бернајс. Другите работи на Хилберт го вклучуваат неговиот доказ за проблемот со Варинг, т.е. претпоставката поставена од Варинг 1770, а првото целосно решение било пронајдено од Хилберт 1909, тогаш развојот на т.н. Хилбертовиот простор и придонес кон проучување на интегрални равенки и алгебарска теорија на броеви.
Биографија на Давид Хилберт
Хилберт бил единствениот син на Ото и Марија Тереза (Ердман) Хилберт, роден во Вехлау (Знаменск) во близина на Калининград во Прусија. Во есента во 1872 година, тој се запишал во Гимназијата Фридрих, но во 1879 година се преселил и во 1880 година ја завршил својата научно-ориентирана гимназија во Вилхелм. Во есента истата година се запишал на факултетот во Кенигсберг. Таму станал пријател со талентираниот Херман Минковски.
Во 1884 година, Адолф Хервиц, од факултетот во Гетинген, станал вонреден професор на факултетот во Кенигсберг. Оттогаш, нивната меѓусебна размена на научни идеи имала значително влијание врз нивната научна кариера. Хилберт го добил својот докторат во 1885 година, со дисертација "За непроменливите својства на специјални бинарни форми, со акцент на сферични хармониски функции" (гер. Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen).
На истиот факултет тој останал како професор од 1886 до 1895 година. Се оженил во 1892 со Кети Ерош со која имале еден син. Во 1895 година, Феликс Клејн бил назначен за раководител на Одделот за математика на факултетот во Геттинген, во тоа време најдобриот центар за научни истражувања од областа на математиката во светот, каде што се пензионирал во 1930 година. Неговиот најдобар пријател, Минковски умирел во 1909 година.
Гетингерско образование
Меѓу учениците на Хилберт биле: Херман Вајл, шах-шампионот Емануел Ласкер, Ернст Цермело, Карл Густав Хемпел и подоцна познати математичари: Ото Блументал (1898), Феликс Бернштајн (1901), Херман Веил (1908), Ричард Курант (1910), Ерих Хек (1910), Хуго Штајнхаус (1911), Вилхелм Акерман (1925). На факултетот тој бил опкружен со некои од најважните математичари на 20 век, како што се Еми Нетер и Алонцо Черч. Помеѓу 1902 и 1939 година, Хилберт бил уредник на „Mathematische Annalen“ , водечки математички весник од тоа време.
Подоцнежни години од животот
Хилберт претрпел нацистичкиот прогон на голем број истакнати членови на факултет во 1933 година, меѓу нив Херман Вајл, кој го наследил на катедрата по пензионирањето во 1930 година Германија била принуден да ја напушти, и Пол Бернајс, соработник во областа на математичката логика и соавтор на важни книги Die Grundlagen der Mathematik (издадени во 1934 и 1939). Тоа било продолжение на книгите на Хилберт и Акерманн Начел на теоретската логика на 1928 година. До смртта на Хилберт во 1943 година, нацистите управувале на повеќето научници од факултетот, така што на неговиот погреб присуствуваа само мал број на академици.
На неговиот споменик во Гетинген пишува:
Треба да знаеме.Ќе знаеме.
Хилбертова основна теорема Првото дело на Хилберт за непроменливи функции го довела до тоа да ја демонстрира неговата позната теорема на конечност во 1888 година.. Дваесет години претходно, Пол Гордан демонстрирал теорема за конечноста на бинарните генератори користејќи многу комплицирани пресметки што го направиле невозможно да се примени самиот метод за да функционира со повеќе од две променливи. Хилберт ја видел потребата за сосема поинаков пристап. Како резултат на тоа, тој демонстрирал "основна теорема на Хилберт" која покажува постоење на конечен генератор поставен независно од бројот на променливи во апстрактна форма.
Основната теорема на Хилберт вели дека ако k е поле, тогаш секој идеал во прстенот е составен од неколку променливи полиноми, k [x1, x2, ..., xn] конечно е генериран. Од аспект на алгебарската геометрија, алгебарскиот сет на k може да се опише како заеднички сет на решенија на конечно многу полиноменски равенки.
Хилберт дошол до доказ со контрадикција користејќи математичка индукција. Неговиот метод не обезбедува алгоритам кој ќе произведе многу многу основни полиноми за дадениот идеал, туку само го покажува нивното постоење.
Поедноставна верзија на основната теорема на Хилберт вели: ако R е левиот (односно десен) нетерев прстен, тогаш полиномот прстен R [X] е исто така лев (или десен) нетерев прстен.
Ако е така, a ≠ 0, тогаш degf: = n и an е водечки коефициент на f. Нека I биде идеален во R [x] и да претпоставиме дека I конечно не е генериран. Потоа индуктивно изградена серија f1, f2, ... од елементите на I така што fi + 1 има минимален степен помеѓу елементите на, каде што идеалниот идеал се генерира од f1, ..., fi.
Нека а биде водечки коефициент на fi и нека J е идеалот на R генериран од низата a1, a2, .... Бидејќи R Neterian постои N таков што J е генериран од a1, ..., aN. Затоа, во некои случаи, можно е да се добие контрадикција, ако е познато каде ni = degfN + 1 - degfi, бидејќи degg = degfN + 1 и нивните водечки коефициенти одговараат, така што fN + 1 - g е строго понизок степен на degfN + 1; Ова е во спротивност со изборот на fN + 1. На овој начин се добива дека I конечно е генерирана. Бидејќи произволниот идеал во R [x] е земен за I, секој идеал во R [x] конечно е генериран и следува дека R [x] е нелинеарен.
Ова било доказ за постоењето на конечен сет на генератори, а не буџет и потпирањето на законот на ексклузивна средина во бесконечност. Објавувањето на ова дело во Mathematische Annalen беше одбиено врз основа на тоа дека не е сеопфатно и целосно и дека воопшто не е математика. Хилберт во следната статија, која повторно ја испратил до Annalen, го проширил својот метод со давање пресметки на максималниот степен на минимален сет на генератори. Ова дело било оценето како најважна работа во областа на општата алгебра која магазинот некогаш ја објавува.
Геометриска аксиоматизација Во текстот на Основите на геометријата (германски Grundlagen der Geometrie), објавен во 1899 година, Хилберт предложил збир на т.н. Хилберт аксиоми кои ги заменуваат традиционалните аксиоми на Евклид. Овие аксиоми ги корегираат слабостите забележани во евклидовите аксиоми кои биле користени буквално, како што биле запишани до тоа време. Независен од Хилберт, деветнаесетгодишниот студент Роберт Ли Мур го објавил истиот сет на аксиоми. Некои од нив се совпаѓаат и некои одговараат на теоремите во множеството на Хилберт и обратно. Пристапот на Хилберт го означи пренасочувањето кон модерна аксиоматска метода. Аксиомите веќе не се земаат како вистинити во себе.
Геометријата може да ги третира работите за кои имаме силна интуиција, но не е неопходно да се додаде експлицитно значење на недефинирани концепти. Елементи како што се: точка, должина и други може да се заменат, како што рекол Хилберт во табели, столици, чаша за пиво и други вакви објекти. Само нивниот дефиниран однос е важен.
Хилберт прво ги означувал недефинираните поими: точката, линијата, рамнината, лежи на (односот меѓу точките и линиите, точките и рамнината, линиите и рамнината), меѓу конјугацијата на паровите на точките и конгруентите на аглите. Аксиомите ја обединуваат геометријата на рамнината и геометријата на просторот во еден систем.
23 проблеми на Хилберт Хилберт во форма на говорот претставил "Проблеми во математиката" , списокот на нерешени проблеми на Меѓународниот конгрес на математичари во Париз во 1900 година, кој подоцна се проширил на 23 проблеми. Со овој говор сакал да заврши математички многу успешен 19 век и да го предвиди развојот на математиката во иднина. Во таа прилика рекол:
"Ако верувам во развојот на математичкото знаење во блиска иднина, мора да се занимаваме со недовршени прашања и да ги решиме проблемите со кои се соочува науката денес и чии решенија ги очекуваме. Знаеме дека секој век ги носи проблемите што се решаваат или заменуваат до новиот. Крајот на една голема епоха не повикува да се погледнеме назад во минатото, но и да ја разгледуваме непознатата иднина ".
Хилберт ги разгледувал двете најголеми достигнувања во претходниот век: развојот на аритметиката на континумот, кој го придонесоа Коши, Болкано и Кантор и прифаќањето на неевклидовата геометрија на Гауса, Бојаи и Лобачевски.
Неговите проблеми биле многу различни. Некои од нив се толку опширни што ги претставуваат целите области кои треба да бидат истражени. Другите пак се многу конкретни и се решаваат многу брзо. Постојат оние кои се решени спротивно на очекувањата на Хилберт, но и оние кои сѐ уште се многу малку познати денес.
Хилберт ги поделил проблемите во четири групи. Првата содржела шест основни проблеми, додека другите шест се однесувале на неговото истражување на теоријата на броеви, третата група од шест проблеми претставувала мешавина од алгебарски и геометриски проблеми. Последните пет проблеми ги одразувале интересите на Хилберт.
Самиот Хилберт, како и неговите ученици, не се занимавале премногу со решавањето на овие проблеми, туку се посветиле на проучувањето на просторот на Хилберт. Сепак, проблемите биле брзо прифатени од млади математичари, кои го насочија своето истражување во насоките предвидени со Хилберт. Значењето на овие проблеми може да се види и во фактот дека решавањето на било кој од нив било причина за прослави и награди. Хилберт верувал дека "сè додека гранка на науката нуди мноштво проблеми, таа ќе продолжи да живее", и во тој дух ги изложил своите проблеми.
Неколку примери на проблемот: Решение на диофантовата равенка Дали е можно да се развие алгоритам кој ќе може да покаже дали дадена равенка на Диофант, со произволно многу непознати и со рационални коефициенти, може да се реши во последните многу чекори? На пример. линеарна диофантанска равенка.
На крајот, се покажало дека таков алгоритам не може да се развие.
Прашањето за аксиоматизацијата на физиката Истражувањата во самите основи на геометријата претставуваат проблем: дали е можно да се набљудуваат, како аксиоми, знаењето во физиката во која математиката игра важна улога; прво, ова се однесува на теоријата на релативноста и механиката. Хилберт мислел дека би било добро кога нивното практично знаење би било логична надградба на теоријата заснована на усогласени аксиоми.
Не било решено.
Проблем топологија на алгебарски кривини и површини. Не било решено.
Проблемите на Хилберт станале еден вид манифест кој го отворила патот за развој на формалното училиште, една од трите главни математички училишта на 20 век. Според формалистите, математиката е игра без значење во која се игра со симболи без значење на формалните правила договорени однапред. Тоа е автономна игра на мислата. Меѓутоа, постојат сомневања дека набљудувањето на Хилберт било формалистичко во овој поглед.
Хилбертова програма Во 1920 година, Хилберт го предложил истражувачкиот проект кој станал познат како Хилбертова програма. Тој сакал математиката да се формулира на цврста и целосна логичка основа. Тој верува дека во принцип ова може да се направи со прикажување: дека сета математика произлегува од правилно избран конечен систем на аксиоми дека таквиот систем на аксиоми е доследен преку некои одлики, како што е сметката на епсилон