Na teoria das categorias, a noção de um objeto projetivo generaliza a noção de um módulo projetivo. Objetos projetivos em categorias abelianas são usados na álgebra homológica. A noção dual de um objeto projetivo é a de um objeto injetivo.
Definição Um objeto numa categoria é projetivo se, para qualquer epimorfismo e morfismo , existir um morfismo tal que , ou seja, o seguinte diagrama comutativo comuta:
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Isto é, todo morfismo fatora através de todo epimorfismo .
Se C for localmente pequena, isto é, em particular é um conjunto para qualquer objeto X em C, esta definição é equivalente à condição de que o funtor Hom (também conhecido como funtor correpresentável)
preserva epimorfismos.
Objetos projetivos em categorias abelianas Se a categoria C for uma categoria abeliana como, por exemplo, a categoria de grupos abelianos, então P é projetivo se e somente se
for um funtor exato, onde Ab é a categoria dos grupos abelianos.
Diz-se que uma categoria abeliana tem projetivos suficientes se, para todo objeto de , existir um objeto projetivo de e um epimorfismo de P para A ou, equivalentemente, uma sequência exata curta
O propósito desta definição é garantir que qualquer objeto A admita uma resolução projetiva, ou seja, uma sequência exata (longa)
onde os objetos são projetivos.
Projetividade em relação a classes restritas discute a noção de objetos projetivos (e dualmente injetivos) relativos a uma chamada bicategoria, que consiste num par de subcategorias de "injeções" e "sobrejeções" na categoria dada C. Estas subcategorias estão sujeitas a certas propriedades formais, incluindo a exigência de que qualquer sobrejeção seja um epimorfismo. Um objeto projetivo (relativo à classe fixada de sobrejeções) é então um objeto P de modo que Hom(P, −) transforme a classe fixada de sobrejeções (em oposição a todos os epimorfismos) em sobrejeções de conjuntos (no sentido usual).
Propriedades O coproduto de dois objetos projetivos é projetivo. Um retrato (ou retração) de um objeto projetivo é projetivo.
Exemplos A afirmação de que todos os conjuntos são projetivos é equivalente ao axioma da escolha.
Os objetos projetivos na categoria de grupos abelianos são os grupos abelianos livres.
Seja um anel com identidade. Considere a categoria (abeliana) -Mod dos -módulos à esquerda. Os objetos projetivos em -Mod são precisamente os -módulos projetivos à esquerda. Consequentemente, o próprio é um objeto projetivo em -Mod. Dualmente, os objetos injetivos em -Mod são exatamente os -módulos injetivos à esquerda.
A categoria dos -módulos à esquerda (ou à direita) também tem projetivos suficientes. Isto é verdade uma vez que, para cada -módulo à esquerda (ou à direita) , podemos tomar como sendo o -módulo livre (e portanto projetivo) gerado por um conjunto gerador para (por exemplo, podemos tomar como sendo o próprio ). Então a projeção canônica é a sobrejeção requerida.
Os objetos projetivos na categoria dos espaços de Hausdorff compactos são precisamente os espaços extremamente desconexos. Este resultado é devido a , com uma demonstração simplificada dada por .
Na categoria dos espaços de Banach e contrações (isto é, funcionais cuja norma é no máximo 1), os epimorfismos são precisamente as aplicações com imagem densa. mostra que o espaço nulo (ou trivial) é o único objeto projetivo nesta categoria. Existem espaços não triviais, contudo, que são projetivos em relação à classe das contrações sobrejetivas. Na categoria dos espaços vetoriais normados com contrações (e aplicações sobrejetivas como "sobrejeções"), os objetos projetivos são precisamente os espaços .
Ver também Objeto injetivo
Ligações externas
Categoria:Álgebra homológica Categoria:Objetos (teoria das categorias)