Na matemática, especificamente na geometria algébrica, o teorema de Grothendieck-Riemann-Roch é um resultado de grande alcance sobre coomologia coerente. É uma generalização do teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, sobre variedades complexas, que por sua vez é uma generalização do teorema de Riemann-Roch clássico para fibrados de linhas em superfícies de Riemann compactas.

Os teoremas do tipo Riemann-Roch relacionam as características de Euler da coomologia de um fibrado vetorial com seus graus topológicos, ou mais geralmente suas classes características em (co)omologia ou análogos algébricos destas. O teorema de Riemann-Roch clássico faz isso para curvas e fibrados de linhas, enquanto o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch generaliza isso para fibrados vetoriais sobre variedades. O teorema de Grothendieck-Riemann-Roch coloca ambos os teoremas em uma situação relativa de um morfismo entre duas variedades (ou esquemas mais gerais) e transforma o teorema de uma declaração sobre um único fibrado para uma que se aplica a complexos de cadeias de feixes.

O teorema tem sido muito influente, não menos importante para o desenvolvimento do teorema do índice de Atiyah-Singer. Por outro lado, análogos da análise complexa do teorema de Grothendieck-Riemann-Roch podem ser provados usando o teorema do índice para famílias. Alexander Grothendieck deu uma primeira prova em um manuscrito de 1957, publicado posteriormente.A. Grothendieck. Classes de faisceaux et théorème de Riemann–Roch (1957). Publicado em SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71. Armand Borel e Jean-Pierre Serre escreveram e publicaram a prova de Grothendieck em 1958. Mais tarde, Grothendieck e seus colaboradores simplificaram e generalizaram a prova.SGA 6, Springer-Verlag (1971).

Formulação Seja X um esquema quase-projetivo liso sobre um corpo. Sob essas suposições, o grupo de Grothendieck de complexos limitados de feixes coerentes é canonicamente isomorfo ao grupo de Grothendieck de complexos limitados de fibrados vetoriais de posto finito. Usando esse isomorfismo, considere o caráter de Chern (uma combinação racional de classes de Chern) como uma transformação funtorial:

onde é o grupo de Chow de ciclos em X de dimensão d módulo a equivalência racional, tensorializado com os números racionais. Caso X seja definido sobre os números complexos, o último grupo é mapeado para o grupo de coomologia topológica:

Agora considere um morfismo próprio entre esquemas quase-projetivos lisos e um complexo limitado de feixes em

O teorema de Grothendieck-Riemann-Roch relaciona o mapeamento de avanço (pushforward)

(soma alternada das imagens diretas superiores) e o avanço (pushforward)

pela fórmulaHuybrechts 04, p. 235

Aqui é o gênero de Todd (do fibrado tangente de) X. Assim, o teorema fornece uma medida precisa para a falta de comutatividade ao tomar os avanços (pushforwards) nos sentidos acima e o caráter de Chern, e mostra que os fatores de correção necessários dependem apenas de X e Y. De fato, como o gênero de Todd é funtorial e multiplicativo em sequências exatas, podemos reescrever a fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch como

onde é o feixe tangente relativo de f, definido como o elemento em . Por exemplo, quando f é um morfismo liso, é simplesmente um fibrado vetorial, conhecido como o fibrado tangente ao longo das fibras de f.

Usando a teoria da homotopia A1, o teorema de Grothendieck-Riemann-Roch foi estendido por para a situação onde f é um mapa próprio entre dois esquemas lisos.

Generalização e especialização

Generalizações do teorema podem ser feitas para o caso não liso considerando uma generalização apropriada da combinação e para o caso não próprio considerando a coomologia com suporte compacto.

O teorema aritmético de Riemann-Roch estende o teorema de Grothendieck-Riemann-Roch para esquemas aritméticos.

O teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch é (essencialmente) o caso especial onde Y é um ponto e o corpo é o corpo dos números complexos.

Uma versão do teorema de Riemann-Roch para teorias de coomologia orientada foi provada por Ivan Panin e Alexander Smirnov. Ela diz respeito a operações multiplicativas entre teorias de coomologia orientada algébrica (como o cobordismo algébrico). O Grothendieck-Riemann-Roch é um caso particular desse resultado, e o caráter de Chern surge naturalmente nesse cenário., veja 4.2.10 e 4.2.11

Exemplos

Fibrados vetoriais em uma curva Um fibrado vetorial de posto e grau (definido como o grau de seu determinante; ou equivalentemente o grau de sua primeira classe de Chern) em uma curva projetiva lisa sobre um corpo tem uma fórmula semelhante ao Riemann-Roch para fibrados de linhas. Se tomarmos e um ponto, então a fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch pode ser lida como

portanto,

Essa fórmula também é válida para feixes coerentes de posto e grau .

Morfismos próprios e lisos Uma das vantagens da fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch é que ela pode ser interpretada como uma versão relativa da fórmula de Hirzebruch-Riemann-Roch. Por exemplo, um morfismo liso tem fibras que são todas equidimensionais (e isomorfas como espaços topológicos quando ocorre a mudança de base para ). Esse fato é útil na teoria de moduli ao considerar um espaço de moduli parametrizando espaços próprios e lisos. Por exemplo, David Mumford usou essa fórmula para deduzir relações do anel de Chow no espaço de moduli de curvas algébricas.

Moduli de curvas Para a pilha de moduli (moduli stack) de curvas de gênero (e sem pontos marcados) existe uma curva universal onde é a pilha de moduli de curvas de gênero e um ponto marcado. Então, ele define as classes tautológicas

onde e é o feixe dualizante relativo. Note que a fibra de sobre um ponto é o feixe dualizante . Ele foi capaz de encontrar relações entre os e descrevendo os em termos de uma soma de (corolário 6.2) no anel de Chow do locus liso usando Grothendieck-Riemann-Roch. Como é uma pilha de Deligne-Mumford lisa, ele considerou uma cobertura por um esquema que apresenta para algum grupo finito . Ele usa Grothendieck-Riemann-Roch em para obter

Como

isso fornece a fórmula

O cálculo de pode então ser ainda mais reduzido. Em dimensões pares ,

Além disso, na dimensão 1,

onde é uma classe na fronteira. No caso e no locus liso existem as relações

que podem ser deduzidas analisando o caráter de Chern de .

Imersão fechada Imersões fechadas também têm uma descrição usando a fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch, mostrando outro caso não trivial onde a fórmula se aplica. Para uma variedade lisa de dimensão e uma subvariedade de codimensão , existe a fórmula

Usando a sequência exata curta

,

existe a fórmula

para o feixe de ideais já que .

Aplicações

Quase-projetividade de espaços de moduli Grothendieck-Riemann-Roch pode ser usado para provar que um espaço de moduli grosseiro , como o espaço de moduli de curvas algébricas com pontos marcados , admite uma imersão em um espaço projetivo, logo, é uma variedade quase-projetiva. Isso pode ser feito observando os feixes canonicamente associados em e estudando o grau dos fibrados de linhas associados. Por exemplo, tem a família de curvas

com seções

correspondentes aos pontos marcados. Como cada fibra possui o fibrado canônico , existem os fibrados de linhas associados

e

Acontece que

é um fibrado de linhas amplopág 209, portanto, o espaço de moduli grosseiro é quase-projetivo.

História A versão de Alexander Grothendieck do teorema de Riemann-Roch foi originalmente transmitida em uma carta a Jean-Pierre Serre por volta de 1956–1957. Foi tornada pública na primeira Bonn Arbeitstagung, em 1957. Serre e Armand Borel subsequentemente organizaram um seminário na Universidade de Princeton para compreendê-la. O artigo final publicado foi, na verdade, a exposição de Borel-Serre.

A importância da abordagem de Grothendieck repousa em vários pontos. Primeiro, Grothendieck mudou a própria declaração: o teorema era, na época, entendido como um teorema sobre uma variedade algébrica, enquanto Grothendieck o via como um teorema sobre um morfismo entre variedades. Ao encontrar a generalização correta, a prova tornou-se mais simples enquanto a conclusão tornou-se mais geral. Em suma, Grothendieck aplicou uma forte abordagem categórica a uma parte difícil da análise matemática. Além disso, Grothendieck introduziu os K-grupos, conforme discutido acima, o que pavimentou o caminho para a K-teoria algébrica.

Ver também Fórmula de Riemann-Roch de Kawasaki Teorema de Kawasaki

Notas

Referências

Ligações externas O Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch O tópico "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" no MathOverflow. O tópico "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" no MathOverflow. O tópico "Chern class of ideal sheaf" no Stack Exchange.

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