Na matemática, a coomologia de Galois é o estudo da coomologia de grupos de módulos de Galois, isto é, a aplicação da álgebra homológica a módulos para grupos de Galois. Um grupo de Galois G associado a uma extensão de corpos L/K atua de forma natural sobre alguns grupos abelianos, por exemplo, aqueles construídos diretamente a partir de L, mas também através de outras representações de Galois que podem ser derivadas por meios mais abstratos. A coomologia de Galois explica a maneira pela qual a tomada de elementos invariantes de Galois falha em ser um funtor exato.

História

A teoria atual da coomologia de Galois tomou forma por volta de 1950, quando percebeu-se que a coomologia de Galois de grupos de classes de ideais na teoria algébrica dos números era uma maneira de formular a teoria de corpos de classes, em uma época em que esta estava no processo de se desvincular das conexões com as funções L. A coomologia de Galois não pressupõe que os grupos de Galois sejam grupos abelianos, de modo que essa era uma teoria não abeliana. Foi formulada de forma abstrata como uma teoria de formações de classes. Dois desenvolvimentos da década de 1960 mudaram esse cenário. Primeiro, a coomologia de Galois apareceu como a camada fundamental da teoria de coomologia étale (em termos gerais, a teoria como ela se aplica a esquemas de dimensão zero). Segundo, a teoria não abeliana de corpos de classes foi lançada como parte do programa de Langlands.

Os primeiros resultados identificáveis como coomologia de Galois eram conhecidos muito antes, na teoria algébrica dos números e na aritmética de curvas elípticas. O teorema da base normal implica que o primeiro grupo de coomologia do grupo aditivo de L se anulará; este é um resultado sobre extensões de corpos em geral, mas era conhecido de alguma forma por Richard Dedekind. O resultado correspondente para o grupo multiplicativo é conhecido como o teorema 90 de Hilbert, e era conhecido antes de 1900. A teoria de Kummer foi outra parte inicial da teoria, dando uma descrição do homomorfismo de conexão advindo da m-ésima função potência.

De fato, por um tempo, o caso multiplicativo de um 1-cociclo para grupos que não são necessariamente cíclicos foi formulado como a solubilidade das equações de Noether, nomeadas em homenagem a Emmy Noether; elas aparecem com este nome no tratamento da teoria de Galois de Emil Artin, e podem ter sido um conhecimento folclórico já na década de 1920. O caso de 2-cociclos para o grupo multiplicativo é o do grupo de Brauer, e suas implicações parecem ter sido bem conhecidas pelos algebristas da década de 1930.

Em outra direção, a dos torsores, estes já estavam implícitos nos argumentos de descida infinita de Fermat para curvas elípticas. Inúmeros cálculos diretos foram feitos, e a prova do teorema de Mordell-Weil teve que prosseguir por algum substituto de uma prova de finitude para um grupo H1 específico. A natureza "torcida" de objetos sobre corpos que não são algebricamente fechados, que não são isomorfos mas se tornam isomorfos sobre o fecho algébrico, também era conhecida em muitos casos ligados a outros grupos algébricos (como formas quadráticas, álgebras simples, variedades de Severi-Brauer), na década de 1930, antes da chegada da teoria geral.

As necessidades da teoria dos números foram expressas, em particular, pelo requisito de ter o controle de um princípio local-global para a coomologia de Galois. Isso foi formulado por meio de resultados na teoria de corpos de classes, como o teorema da norma de Hasse. No caso das curvas elípticas, isso levou à definição chave do grupo de Tate-Shafarevich no grupo de Selmer, que é a obstrução ao sucesso de um princípio local-global. Apesar de sua grande importância, por exemplo, na conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, provou ser muito difícil obter qualquer controle sobre ele, até que os resultados de Karl Rubin deram uma maneira de mostrar que em alguns casos ele era finito (um resultado geralmente aceito, uma vez que sua ordem conjectural era prevista por uma fórmula de função L).

O outro grande desenvolvimento da teoria, envolvendo também John Tate, foi o resultado da dualidade de Tate-Poitou.

Tecnicamente falando, G pode ser um grupo profinito, caso em que as definições precisam ser ajustadas para permitir apenas cocadeias contínuas.

Detalhes formais A coomologia de Galois é o estudo da coomologia de grupos dos grupos de Galois. Seja uma extensão de corpo com o grupo de Galois e um grupo abeliano sobre o qual atua. O grupo de coomologia:é o grupo de coomologia de Galois associado à representação do grupo de Galois em . É possível, além disso, estender essa definição para o caso em que é um grupo não abeliano e , e essa extensão é necessária para algumas das aplicações mais importantes da teoria. Em particular, é o conjunto de pontos fixos do grupo de Galois em , e está relacionado aos 1-cociclos (que parametrizam álgebras de quatérnios, por exemplo).

Quando o corpo de extensão é o fecho separável do corpo , costuma-se escrever e

O teorema 90 de Hilbert na linguagem coomológica é a afirmação de que o primeiro grupo de coomologia com valores no grupo multiplicativo de é trivial para uma extensão de Galois : Este teorema de anulação pode ser generalizado para uma grande classe de grupos algébricos, também formulado na linguagem da coomologia de Galois. A generalização mais direta é que, para qualquer -toro quase-decomposto ,Denote por o grupo linear geral em dimensões. Então o Hilbert 90 é o caso especial para deDa mesma forma, o teorema de anulação é válido para o grupo linear especial e para o grupo simplético , onde é uma forma bilinear alternada não degenerada definida sobre .

O segundo grupo de coomologia descreve os sistemas de fatores associados ao grupo de Galois. Assim, para qualquer extensão normal , o grupo de Brauer relativo pode ser identificado com o grupoComo um caso especial, com o fecho separável, tem-se

Referências

, tradução de Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).

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