Geometria anabeliana é uma teoria da geometria aritmética que estuda como o grupo fundamental algébrico de uma certa variedade aritmética X (ou de objetos geométricos relacionados) pode permitir reconstruir X. Os primeiros resultados para corpos de números e seus grupos de Galois absolutos foram obtidos por Jürgen Neukirch, Masatoshi Gündüz Ikeda, Kenkichi Iwasawa e Kôji Uchida (ver teorema de Neukirch–Uchida, 1969), antes das conjecturas formuladas por Alexander Grothendieck sobre curvas hiperbólicas sobre corpos de números. Introduzidas na Carta a Faltings (1983; ver também Esquisse d'un Programme, 1984), essas conjecturas afirmam que homomorfismos topológicos entre grupos fundamentais aritméticos de curvas hiperbólicas correspondem a aplicações entre as próprias curvas. Uma primeira versão foi demonstrada por Hiroaki Nakamura e Akio Tamagawa (para curvas afins), sendo posteriormente completada por Shinichi Mochizuki.Shinichi Mochizuki; Hiroaka Nakamura; Akio Tamagawa, "The Grothendieck conjecture of the fundamental groups of algebraic curves", Sugaku Exposition (14) 1, American Mathematical Society, 2001.
Desde então, a teoria expandiu-se em diversas direções (formas absolutas, mono-anabelianas e combinatórias) e passou a interagir com várias áreas, incluindo teoria dos números, geometria algébrica e topologia de baixa dimensão.
Formulação de uma conjectura de Grothendieck sobre curvas A chamada “questão anabeliana” pode ser formulada como:
Um caso concreto ocorre para curvas (afins ou projetivas). Seja C uma curva hiperbólica — isto é, a curva obtida removendo-se n pontos de uma curva algébrica projetiva lisa e irredutível de gênero g, definida sobre um corpo K finitamente gerado sobre seu corpo primo, satisfazendo
Grothendieck conjecturou que o grupo fundamental algébrico G de C, que é um grupo profinito, determina a curva C (ou seja, a classe de isomorfismo de G determina a de C). Esse resultado foi demonstrado por Mochizuki.
Um exemplo ocorre quando (a reta projetiva) e : a classe de isomorfismo de C é essencialmente determinada pela razão cruzada dos quatro pontos removidos. Existem também resultados quando K é um corpo local.
Geometria mono-anabeliana Shinichi Mochizuki introduziu e desenvolveu a geometria mono-anabeliana, abordagem que permite reconstruir certas curvas hiperbólicas sobre corpos de números (ou outros corpos) a partir do seu grupo fundamental algébrico. Resultados fundamentais dessa teoria aparecem em sua série Topics in Absolute Anabelian Geometry I (2012), II (2013) e III (2015).Hoshi, Yuichiro, Introduction to mono-anabelian geometry.
O termo geometria bi-anabeliana foi cunhado por Mochizuki para designar a abordagem clássica oposta.
A teoria mono-anabeliana trata de classes específicas de curvas hiperbólicas (do chamado tipo estritamente de Belyi) sobre corpos de números e corpos locais. Um objetivo central é construir algoritmos que recuperem a curva — até isomorfismo — a partir do seu grupo fundamental étale. Em particular, pela primeira vez obtém-se uma reconstrução functorial simultânea do corpo de base e de sua completação a partir do grupo fundamental de amplas classes de curvas elípticas pontuadas sobre corpos de números.
A teoria de Teichmüller inter-universal de Mochizuki utiliza vários resultados da geometria mono-anabeliana em sua forma absoluta.
Geometria anabeliana combinatória Mochizuki também introduziu a 'geometria anabeliana combinatória, dedicada à reconstrução de objetos geométricos a partir de dados combinatórios mais primitivos. Os primeiros resultados aparecem em seus artigos de 2007 e 2010 sobre versões combinatórias da conjectura de Grothendieck. Posteriormente, Yuichiro Hoshi e Mochizuki aplicaram a teoria a curvas hiperbólicas numa série de trabalhos (2012–2013).
A origem dessa abordagem encontra-se em ideias combinatórias ligadas à aritmética de grupos de tranças profinitos e de suas álgebras de Lie, desenvolvidas por Makoto Matsumoto e colaboradores. Alguns resultados fornecem demonstrações alternativas de casos parciais da conjectura de Grothendieck sem recorrer à teoria de Hodge p-ádica. A geometria anabeliana combinatória também contribui para o estudo do grupo de Grothendieck–Teichmüller e dos grupos de Galois absolutos de corpos de números e de corpos locais de característica mista.
Ver também Conjectura da secção Teoria dos corpos de classes Funtor fibra Teorema de Neukirch–Uchida Teorema de Belyi Teoria de Teichmüller inter-universal
Referências
Categoria:Geometria aritmética Categoria:Geometria não comutativa