No campo matemático da teoria de Lie, o radical de uma álgebra de Lie é o maior ideal solúvel de .
O radical, denotado por , se encaixa na sequência exata
,
onde é semissimples. Quando o corpo base tem característica zero e possui dimensão finita, o teorema de Levi afirma que esta sequência exata cinde (splits); ou seja, existe uma subálgebra (necessariamente semissimples) de que é isomorfa ao quociente semissimples através da restrição da aplicação quociente
Uma noção semelhante é a de uma Subálgebra de Borel, que é uma subálgebra solúvel máxima (não necessariamente única).
Definição Seja um corpo e seja uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre . Existe um único ideal solúvel máximo, chamado de radical, pelo seguinte motivo.
Primeiramente, sejam e dois ideais solúveis de . Então é novamente um ideal de , e ele é solúvel porque é uma extensão de por . Agora considere a soma de todos os ideais solúveis de . Ela não é vazia, uma vez que é um ideal solúvel, e ela é um ideal solúvel pela propriedade da soma recém-derivada. Claramente, este é o único ideal solúvel máximo.
Conceitos relacionados
Uma álgebra de Lie é semissimples se, e somente se, o seu radical for . Uma álgebra de Lie é redutiva se, e somente se, o seu radical for igual ao seu centro.
Ver também
Decomposição de Levi
Categoria:Álgebra de Lie