Na matemática, o teorema de Chern (ou o teorema de Chern-Gauss-Bonnet em homenagem a Shiing-Shen Chern, Carl Friedrich Gauss e Pierre Ossian Bonnet) afirma que a característica de Euler-Poincaré (um invariante topológico definido como a soma alternada dos números de Betti de um espaço topológico) de uma variedade riemanniana fechada de dimensão par é igual à integral de um certo polinômio (a classe de Euler) da sua forma de curvatura (um invariante analítico).

É uma generalização altamente não trivial do clássico teorema de Gauss-Bonnet (para variedades bidimensionais / superfícies) para variedades riemannianas de dimensões pares superiores. Em 1943, Carl B. Allendoerfer e André Weil provaram um caso especial para variedades extrínsecas. Em um artigo clássico publicado em 1944, Shiing-Shen Chern provou o teorema em total generalidade conectando a topologia global com a geometria local.

O teorema de Riemann-Roch e o teorema do índice de Atiyah-Singer são outras generalizações do teorema de Gauss-Bonnet.

Enunciado Uma forma útil do teorema de Chern é que

onde denota a característica de Euler de . A classe de Euler é definida como

onde temos o Pfaffiano . Aqui é uma variedade riemanniana orientável e compacta de dimensão 2n sem fronteira, e é a forma de curvatura associada da conexão de Levi-Civita. Na verdade, a afirmação é válida com sendo a forma de curvatura de qualquer conexão métrica no fibrado tangente, bem como para outros fibrados vetoriais sobre .

Como a dimensão é 2n, temos que é uma 2-forma diferencial com valores em sobre (veja grupo ortogonal especial). Então pode ser vista como uma matriz antissimétrica 2n × 2n cujas entradas são 2-formas, portanto é uma matriz sobre o anel comutativo . Logo, o Pfaffiano é uma 2n-forma. É também um polinômio invariante.

No entanto, o teorema de Chern em geral afirma que para qualquer orientável fechada de dimensão n de classe ,

onde o emparelhamento (,) acima denota o produto cap com a classe de Euler do fibrado tangente .

Provas Em 1944, o teorema geral foi provado pela primeira vez por S. S. Chern em um artigo clássico publicado pelo departamento de matemática da Universidade de Princeton.

Em 2013, uma prova do teorema via teorias de campos euclidianas supersimétricas também foi encontrada.

Aplicações O teorema de Chern-Gauss-Bonnet pode ser visto como uma instância especial na teoria das classes características. O integrando de Chern é a classe de Euler. Uma vez que é uma forma diferencial de dimensão máxima, ela é fechada. A naturalidade da classe de Euler significa que, ao alterar a métrica riemanniana, permanece-se na mesma classe de coomologia. Isso significa que a integral da classe de Euler permanece constante à medida que a métrica varia e é, portanto, um invariante global da estrutura suave.

O teorema também encontrou inúmeras aplicações na física, incluindo:

Fase adiabática ou fase de Berry, Teoria das cordas, Física da matéria condensada, Teoria quântica de campos topológica, Fases topológicas da matéria (veja o Prêmio Nobel de Física de 2016 por Duncan Haldane et al.).

Casos especiais

Variedades de quatro dimensões Em dimensão , para uma variedade orientada compacta, obtemos

onde é o tensor de curvatura de Riemann completo, é o tensor de curvatura de Ricci, e é a curvatura escalar. Isso é particularmente importante na relatividade geral, onde o espaço-tempo é visto como uma variedade de 4 dimensões.

Em termos da decomposição de Ricci ortogonal do tensor de curvatura de Riemann, esta fórmula também pode ser escrita como

onde é o tensor de Weyl e é o tensor de Ricci sem traço (traceless).

Hipersuperfícies de dimensões pares Para uma hipersuperfície compacta e de dimensão par em obtemos

onde é o elemento de volume da hipersuperfície, é o determinante jacobiano da aplicação de Gauss, e é a área da superfície da n-esfera unitária.

Teorema de Gauss-Bonnet

O teorema de Gauss-Bonnet é um caso especial quando é uma variedade de 2 dimensões. Ele surge como o caso especial onde o índice topológico é definido em termos dos números de Betti e o índice analítico é definido em termos do integrando de Gauss-Bonnet.

Assim como no teorema de Gauss-Bonnet bidimensional, existem generalizações quando é uma variedade com fronteira.

Outras generalizações

Atiyah-Singer

Uma generalização de longo alcance do teorema de Gauss-Bonnet é o Teorema do Índice de Atiyah-Singer.

Seja um operador diferencial elíptico fraco entre fibrados vetoriais. Isso significa que o símbolo principal é um isomorfismo. A elipticidade forte exigiria ainda que o símbolo fosse positivo definido.

Seja seu operador adjunto. Então o índice analítico é definido como

Pela elipticidade, isto é sempre finito. O teorema do índice diz que isto é constante à medida que o operador elíptico varia suavemente. É igual a um índice topológico, que pode ser expresso em termos de classes características como a classe de Euler.

O teorema de Chern-Gauss-Bonnet é derivado considerando o operador de Dirac

Dimensões ímpares A fórmula de Chern é definida apenas para dimensões pares porque a característica de Euler se anula para dimensões ímpares. Há algumas pesquisas sendo feitas sobre como 'torcer' (twisting) o teorema do índice na teoria K para fornecer resultados não triviais para dimensões ímpares.

Há também uma versão da fórmula de Chern para orbifolds.

História

Shiing-Shen Chern publicou sua prova do teorema em 1944 enquanto estava no Instituto de Estudos Avançados de Princeton. Historicamente, esta foi a primeira vez que a fórmula foi provada sem assumir que a variedade estivesse imersa em um espaço euclidiano, o que é o que significa ser "intrínseco". O caso especial para uma hipersuperfície (uma subvariedade de dimensão (n-1) em um espaço euclidiano de dimensão n) foi provado por H. Hopf, no qual o integrando é a curvatura de Gauss-Kronecker (o produto de todas as curvaturas principais num ponto da hipersuperfície). Isto foi generalizado independentemente por Allendoerfer em 1939 e Fenchel em 1940 para uma subvariedade riemanniana de um espaço euclidiano de qualquer codimensão, para a qual eles usaram a curvatura de Lipschitz-Killing (a média da curvatura de Gauss-Kronecker ao longo de cada vetor normal unitário sobre a esfera unitária no espaço normal; para uma subvariedade de dimensão par, este é um invariante que depende apenas da métrica de Riemann da subvariedade). O resultado deles seria válido para o caso geral se o Teorema do mergulho de Nash pudesse ser assumido. No entanto, esse teorema não estava disponível na época, visto que John Nash publicou seu famoso teorema de imersão para variedades riemannianas em 1956. Em 1943, Allendoerfer e Weil publicaram sua prova para o caso geral, na qual usaram primeiro um teorema de aproximação de H. Whitney para reduzir o caso a variedades riemannianas analíticas, depois imergiram vizinhanças "pequenas" da variedade isometricamente em um espaço euclidiano com a ajuda do teorema de imersão local de Cartan-Janet, para que pudessem remendar essas vizinhanças imersas juntas e aplicar o teorema acima de Allendoerfer e Fenchel para estabelecer o resultado global. Isso, é claro, é insatisfatório pela razão de que o teorema envolve apenas invariantes intrínsecos da variedade, então a validade do teorema não deveria depender de sua imersão em um espaço euclidiano. Weil conheceu Chern em Princeton depois que Chern chegou em agosto de 1943. Ele disse a Chern que acreditava que deveria haver uma prova intrínseca, a qual Chern foi capaz de obter em duas semanas. O resultado é o artigo clássico de Chern "A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds" publicado no Annals of Mathematics no ano seguinte. O trabalho anterior de Allendoerfer, Fenchel, Allendoerfer e Weil foi citado por Chern neste artigo. O trabalho de Allendoerfer e Weil também foi citado por Chern em seu segundo artigo relacionado ao mesmo tópico.

Ver também

Homomorfismo de Chern-Weil Classe de Chern Forma de Chern-Simons Teoria de Chern-Simons Conjectura de Chern (geometria afim) Número de Pontryagin Classe de Pontryagin Cohomologia de De Rham Fase de Berry Teorema do índice de Atiyah-Singer Teorema de Riemann-Roch

Referências

Categoria:Teoremas na geometria diferencial